Enunciado

Seja A = 1 0 5 1 1 1 0 1 - 4   .

a)Encontre a solução geral do sistema A + 4 I 3 X =   0 -

b) Encontre a solução geral do sistema A - 2 I 3 X =   0 -

Passo 1

a) Primeiro vamos calcular os valores dentro do parêntesis, vamos chamar de matriz B, substituindo:

B =   A + 4 I 3

B =   1 0 5 1 1 1 0 1 - 4 + 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

B = 1 0 5 1 1 1 0 1 - 4 + 4 0 0 0 4 0 0 0 4

B = 5 0 5 1 5 1 0 1 0

Agora multiplicando pela matriz X, temos:

B X =   0 -

5 0 5 1 5 1 0 1 0 ∙ x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

5 x 1 + 0 x 2 + 5 x 3 x 1 + 5 x 2 + x 3 0 x 1 + x 2 + 0 x 3 = 0 0 0  

Assim, nossa matriz aumentada é:

5 0 5 | 0 1 5 1 | 0 0 1 0 | 0

Para escalonar essa matriz vamos aplicar operações elementares em suas linhas

5 0 5 | 0 1 5 1 | 0 0 1 0 | 0 → L 1 × 1 5 → L 1   1 0 1 | 0 1 5 1 | 0 0 1 0 | 0 → L 2 - L 1 → L 2 1 0 1 | 0 0 5 0 | 0 0 1 0 | 0

1 0 1 | 0 0 5 0 | 0 0 1 0 | 0 → L 2 × 1 5 → L 2   1 0 1 | 0 0 1 0 | 0 0 1 0 | 0 → L 3 - L 2 → L 3   1 0 1 | 0 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0

Nossa matriz aumentada na forma escalonada é:

1 0 1 | 0 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0 →   x 1 + x 3   = 0                     x 2 = 0

A partir da equação 1 do sistema concluímos que: x 1 = - x 3

Considerando x 3 =   α , a solução geral é dada por:

X =   x 1 x 2 x 3 = - α 0 α , ∀ α ∈ R

Passo 2

b)Seguindo o mesmo raciocínio anterior, vamos calcular o valor dentro do parêntesis.

B = A - 2 I 3

B =   1 0 5 1 1 1 0 1 - 4 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

B = - 1 0 5 1 - 1 1 0 1 - 6

Multiplicando pela matriz X:

B X =   0 -

- 1 0 5 1 - 1 1 0 1 - 6 ∙ x 1 x 2 x 3 =   0 0 0

- x 1 + 0 x 2 + 5 x 3 x 1 - x 2 + x 3 0 x 1 + x 2 - 6 x 3 = 0 0 0  

A matriz aumentada é:

- 1 0 5 | 0 1 - 1 1 | 0 0 1 - 6 | 0

Escalonando a matriz, temos:

- 1 0 5 | 0 1 - 1 1 | 0 0 1 - 6 | 0 → L 2 + L 1 → L 2   - 1 0 5 | 0 0 - 1 6 | 0 0 1 - 6 | 0 → L 3 + L 2 → L 3   - 1 0 5 | 0 0 - 1 6 | 0 0 0 0 | 0

A matriz escalonada fica:

- 1 0 5 | 0 0 - 1 6 | 0 0 0 0 | 0 →   - x 1 + 5 x 3   = 0       - x 2 + 6 x 3   = 0

Pela equação 1 do sistema, obtemos: x 1 = 5 x 3  

Pela equação 2 do sistema, obtemos: x 2 = 6 x 3  

Considerando x 3 =   α , a solução geral é:

X =   x 1 x 2 x 3 = 5 α 6 α α , ∀ α ∈ R

Resposta

a) X = - α 0 α , ∀ α ∈ R

b) X = 5 α 6 α α , ∀ α ∈ R