Enunciado

Seja H a hipérbole de equação reduzida - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 . Calcule as distâncias de um ponto genérico X = x ,   y de H aos focos, em função de y .

Passo 1

Como X é um ponto da hipérbole, suas coordenadas devem satisfazer a equação de H . Dessa forma,

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⟹ x 2 a 2 = y 2 b 2 - 1 ∴ x 2 = y 2 a 2 b 2 - a 2

Passo 2

Para a hipérbole dada, sabemos que seus focos estão localizados em F = 0 , ± c . Sem perda de generalidade, vamos calcular a distância até o foco F = 0 , c .

d X ,   F = x - 0 2 + y - c 2 = x 2 + y 2 - 2 y c + c 2

d X ,   F = y 2 a 2 b 2 + y 2 - 2 y c + c 2 - a 2

d X , F = y 2 a 2 + b 2 b 2 - 2 y c + c 2 - a 2

Passo 3

Lembrando que c 2 = a 2 + b 2 , segue que

d X , F = y 2 c 2 b 2 - 2 y c + b 2 = 1 b y 2 c 2 - 2 y c b 2 + b 4

d X , F = 1 b y c - b 2 2 = 1 b y c - b 2 = y c b - b

Se tivéssemos calculado a distância de X até o outro foco, então basta substituir c por - c na equação acima. Assim, teríamos:

d X , F ' = y - c b - b = - y c b - b = y c b + b

pois - t = t para t real.

Resposta

As distâncias são y c b - b e y c b + b .

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Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.12. 2 y 2 - 4 x 2 = 1
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.6. x 2 - 2 y 2 - 8 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.4. 9 x 2 - 16 y 2 = 144
Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.1. x 2 4 - y 2 9 = 1