Enunciado

Uma corda P Q da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 8 z + 10 = 0 está contida na reta interseção dos planos π 1 : x = 2 z - 1 e π 2 : y = 1 - z . Obtenha equações dos planos tangentes a superfície esférica em P e Q .

Passo 1

Encontrando a equação reduzida dessa superfície nós teremos:

x 2 - 4 x + y 2 + 2 y + z 2 - 8 z = - 10

Completando os quadrados:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 8 z + 16 = - 10 + 4 + 1 + 16

x - 2 2 + y + 1 2 + z - 4 2 = 1 1

Resumindo o centro está em C = ( 2 , - 1,4 )

Passo 2

Agora encontrando os pontos P e Q vamos substituir pela equação do plano onde esses dois pontos estão. E que serão em:

x = 2 z - 1

y = 1 - z

z = z

Substituindo na equação da esfera.

2 z - 1 - 2 2 + 1 - z + 1 2 + z - 4 2 = 1 1

2 z - 3 2 + 2 - z 2 + z - 4 2 - 12 = 0

Abrindo essa equação nós conseguimos:

6 z 2 - 24 z + 1 8 = 0

Então os valores de z serão:

z 1 = 1 ; z 2 = 3

E substituindo nas equações de plano nós encontraremos:

x 1 = 2 ⋅ 1 - 1 = 1 ;     x 2 = 2 ⋅ 3 - 1 = 5

y 1 = 1 - 1 = 0 ; y 2 = 1 - 3 = - 2

Logo nós podemos dizer que:

P = ( 1 ; 0 ; 1 )

Q = ( 5 ; - 2 ; 3 )

Passo 3

O plano tangente em relação a P será:

C P → = P - C = ( 1 ; 0 ; 1 ) - 2 , - 1,4 = ( - 1 ; 1 ; - 3 )

Portanto esse plano será proporcional a:

- x + y - 3 z + d = 0

E se aplicarmos P (que é o ponto de tangência), nós iremos ter

- 1 - 3 + d = 0 → d = 4

Então o primeiro plano será:

- x + y - 3 z + 4 = 0

Passo 4

Agora o plano tangente para Q :

C Q → = Q - C = ( 5 ; - 2 ; 3 ) - 2 , - 1,4 = ( 3 ; - 1 ; - 1 )

Então o plano será proporcional a:

3 x - y - z + d = 0

E se aplicarmos o ponto Q (que é o ponto tangente nós iremos obter):

3 ⋅ 5 + 2 - 3 + d = 0

d = - 14

Portanto o plano tangente será:

3 x - y - z - 14 = 0

Resposta

- x + y - 3 z + 4 = 0

3 x - y - z - 14 = 0

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Ache o centro e o raio da circunferência x 2+y 2+ z 2- 2 x+ 4 y - 4=0 ⎨ x- 2 y+ z+ 1 = 0⎨
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Sejam S :x 2 + y 2+ z 2- 8 x- 10 y- 8 z+30=0 e S ' :x 2+ y 2+z 2 + 2 x+ 2 z= 10 . Ache a superfície esférica S ' ' , de maior raio, que seja tangente a S e S ' e tal que os centros de S , S ' e S ' '
Ache o centro e o raio da circunferência, intercessão das superfícies esféricas sejam x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 14= 0 e x 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 2 z - 4 = 0 .