Enunciado

Prove que o paraboloide hiperbólico Ω : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja Ω . No caso particular em que a = b = 1 , obtenha vetores diretores dessas retas e os pontos em que elas interceptam o plano O x y (isso pode ser útil no projeto da escultura de linha).

Passo 1

Vamos provar que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada.

O procedimento aqui empregado será bem semelhante ao feito no Exercício Resolvido 25-6.

Bom, primeiro vamos separar o segundo membro em um produto. Com isto, temos:

z ⋅ 1 = x a + y b ⋅ - x a + y b

Se assumirmos que z ≠ 0 , podemos reescrever a seguinte relação:

x a + y b z = 1 - x a + y b = α

Reescrevendo a relação acima em forma de um sistema e incluindo a solução z = 0 , temos:

r : x a + y b = α z α - x a + y b = 1

Passo 2

Agora, vamos confirmar que o sistema acima satisfaz a equação de uma reta.

Para isto, basta analisar as equações como dois planos com vetores normais n → 1 = 1 a , 1 b , - α e n → 1 = - 1 a , 1 b , 0 . Portanto, não existe nenhum valor de λ tal que n → 1 = λ n → 2 .

Desta forma, os dois vetores não são paralelos e os dois planos são ortogonais! E se temos dois planos ortogonais, a interseção deles é uma reta!

E para finalizarmos, para verificar que todo ponto da reta r pertence a superfície Ω , basta fazer o caminho inverso que fizemos. Se multiplicarmos as duas linhas, vamos obter a equação de Ω .

Assim, provamos que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada!

Passo 3

Para obtermos os vetores diretores do caso z = 0 , basta substituir na relação que desenvolvemos no início do passo 1. Ela foi:

z ⋅ 1 = x a + y b ⋅ - x a + y b

x a + y b ⋅ - x a + y b = 0

Então, temos o conjunto

x a + y b = 0

- x a + y b = 0

Como a questão nos disse que a = b = 1 , o que simplifica nossas relações, temos:

x + y = 0

- x + y = 0

Cada uma das relações nos dá um plano. Se interceptarmos cada um dos planos π 1 : x + y = 0 e π 2 : - x + y = 0 com o plano z = 0 , vamos obter nosso par de reta.

Começando pela interseção de π 1 com z = 0 , temos:

s 1 : x + y = 0 z = 0 ⟹ s 1 : y = - x z = 0

Portanto, se o ponto X = x , y , z pertence a reta, temos:

s 1 : X = x , - x , 0

s 1 : X = x 1 , - 1 , 0

s 1 : X = λ 1 , - 1,0

Cujo vetor diretor é 1 , - 1,0 . Já para o caso da interseção com π 2 , temos:

s 2 : - x + y = 0 z = 0 ⟹ s 1 : y = x z = 0

Portanto, se o ponto X = x , y , z pertence a reta, temos:

s 2 : X = x , x , 0

s 2 : X = x 1,1 , 0

s 2 : X = λ 1,1 , 0

Cujo vetor diretor é 1,1 , 0 .

Resposta

Os vetores diretores das retas são 1,1 , 0 e 1 , - 1,0 .

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