Enunciado

Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações

x = y 2 a 2 - z 2 b 2

x = - y 2 a 2 + z 2 b 2

y = x 2 a 2 - z 2 b 2

y = - x 2 a 2 + z 2 b 2

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Passo 1

Então, vamos verificar que todas as equações são paraboloides hiperbólicos. A nossa referência será a equação:

z = - x 2 a 2 + y 2 b 2

Sabemos que ela é um paraboloide hiperbólico com eixo de simetria O z . Agora, nossa primeira equação a ser analisada é:

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Cujo eixo de simetria continua sendo é O z (basta ver a variável independente). A única mudança em relação a nossa referência foi o sinal negativo no segundo membro. Em termos de coordenadas, fizemos a seguinte mudança:

x = y y = x z = z

Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de O z . Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a única mudança foi que ela virou de lado. A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo y .

Entretanto, esta não é a única forma de visualizarmos a mudança do paraboloide. Também poderíamos ter feito a seguinte mudança:

x = x y = y z = - z

O que caracterizaria colocar o nosso paraboloide de “cabeça para baixo”.

Passo 2

Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o O x (basta procurar as equações que tem o termo y ).

Começando por x = - y 2 a 2 + z 2 b 2 . Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:

x = y y = z z = x

Cujo eixo de simetria continua sendo é O x . Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de O z seguida de uma rotação de 90° em torno do novo O x .

Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a sua cabeça estará voltada para a direção positiva do eixo x . A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo z .

Agora, analisaremos x = y 2 a 2 - z 2 b 2 . Continuamos com um paraboloide hiperbólico. A diferença deste paraboloide para o anterior é a direção que fica a montaria. Neste caso, a frente da montaria fica na direção do eixo y .

Passo 3

Agora, vamos fazer a análise em relação aos paraboloides cujo eixo de simetria é o O y (basta procurar as equações que tem o termo y ).

Começando por y = - x 2 a 2 + z 2 b 2 . Em comparação com o nosso sistema de referência, temos a seguinte mudança no sistema de coordenadas:

x = x y = z z = y

Cujo eixo de simetria continua sendo é O y . Em termos de esboço do gráfico, o sistema acima significa rotação de 90° em torno de O x .

Além disto, ao analisarmos a posição da montaria, a sua cabeça estará voltada para a direção positiva do eixo y . A frente da montaria ficou na direção do eixo que contém o sinal positivo. Neste caso, foi o eixo z .

Agora, analisaremos y = x 2 a 2 - z 2 b 2 . Continuamos com um paraboloide hiperbólico. A diferença deste paraboloide para o anterior é a direção que fica a montaria. Neste caso, a frente da montaria fica na direção do eixo x .

Resposta

O sinal positivo do segundo membro indica a direção que contém a frente da montaria.

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