Enunciado

Seja

T = 1 - 2 2 0 - 1 3

a matriz canônica de uma transformação linear T :   R 2 → R 3 . Se T v = ( 2 ,   4 , - 2 ) , calcular v .

Passo 1

A questão fornece a matriz de transformação linear entre as bases canônicas e pede para encontrarmos um vetor v = ( x , y ) tal que T v = T x , y = ( 2 ,   4 ,   - 2 ) .

Para esse problema, vamos interpretar a transformação linear como um produto de matrizes:

2 4 - 2 = 1 - 2 2 0 - 1 3 ⋅ x y

Assim,

x - 2 y 2 x - x + 3 y = 2 4 - 2

Passo 2

Temos que resolver o sistema

x - 2 y = 2 2 x                 = 4 - x + 3 y = - 2

Da segunda equação tiramos que x = 2 . Substituindo isso na primeira:

2 - 2 y = 2 ⇒ y = 0

Note que x = 2 e y = 0 é consistente com a terceira equação também. Assim, essa é a solução do sistema.

Portanto,

v = x , y = ( 2 ,   0 )

Resposta

v = ( 2 ,   0 )

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