Enunciado

Seja T :   R 4 → R 3 a transformação linear tal que T e 1 = ( 1 , - 2 ,   1 ) , T e 2 = ( - 1 ,   0 , - 1 ) , T e 3 = ( 0 , - 1,2 ) e T e 4 = ( 1 , - 3 ,   1 ) , sendo { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } a base canônica do R 4 ;

a) Determinar o núcleo e a imagem de T .

b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem.

c) Verificar o Teorema da Dimensão.

Passo 1

Nos foi dado uma transformação linear tal que T e 1 = ( 1 , - 2 ,   1 ) , T e 2 = ( - 1 ,   0 , - 1 ) , T e 3 = ( 0 , - 1,2 ) e T e 4 = ( 1 , - 3 ,   1 ) . Como { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } é a base canônica do R 4 , podemos escrever

T x , y , z , w = x 1 , - 2 ,   1 + y - 1 ,   0 , - 1 + z 0 , - 1 ,   2 + w ( 1 , - 3 ,   1 )

Logo,

T x , y , z , w = ( x - y + w , - 2 x - z - 3 w , x - y + 2 z + w )

A imagem é gerada pelo conjunto 1 , - 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 , - 1 ,   0 , - 1 ,   2 , 1 , - 3 ,   1 . Já para o núcleo, temos que fazer T x , y , z , w = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

x - y + w = 0 - 2 x - z - 3 w = 0 x - y + 2 z + w = 0

Vamos escalonar esse sistema: multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda, obtemos

- 2 y - z - w = 0

Subtraindo a primeira equação pela terceira:

- 2 z = 0

Assim, temos

x - y + w = 0 2 y + z + w = 0 2 z = 0

Tiramos de cara z = 0 . Assim, w = - 2 y . Substituindo na primeira equação:

x - y - 2 y = 0 ⇒ x = 3 y

Desta forma, um vetor genérico que pertença ao núcleo de T é da forma

x , y , z , w = 3 y , y , 0 , - 2 y = y ( 3 ,   1 ,   0 , - 2 )

Passo 2

Como qualquer vetor do núcleo pode ser escrito como combinação linear de ( 3 ,   1 ,   0 , - 2 ) , de modo que

N T = 3 ,   1 ,   0 , - 2

Já para a imagem, temos que ela é gerada pelo conjunto B = 1 , - 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 , - 1 ,   0 , - 1 ,   2 , 1 , - 3 ,   1 . Como a dimensão do espaço de chegada é três e B tem quatro vetores, podemos descartar um deles que será combinação linear dos demais. Para isso, vãos considerar apenas os três primeiros:

1 - 2 1 - 1 0 - 1 0 - 1 2 = 1 ⋅ - 1 - - 2 ⋅ - 2 + 1 ⋅ 1 = - 1 - 4 + 1 = - 4 ≠ 0

Portanto, o conjunto 1 , - 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 , - 1 ,   0 , - 1 ,   2 é LI. Desta forma, esse conjunto forma uma base para a imagem:

I m T = 1 , - 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 , - 1 ,   0 , - 1 ,   2

Passo 3

Bom, temos que verificar se o teorema da dimensão é válido. Neste caso, devemos ter

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 4 = 4

A base do núcleo tem um vetor, de modo que dim ⁡ N ( T ) = 1 . Já para a imagem, dim ⁡ I m ( T ) = 3 . Como 1 + 3 = 4 , o teorema da dimensão é verificado!

Resposta

N T = 3 ,   1 ,   0 , - 2

I m T = 1 , - 2 ,   1 ,   - 1 ,   0 , - 1 ,   0 , - 1 ,   2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T o operador linear no R 3 tal que T 1 ,0 ,0 = 0 ,2 ,0 , T 0 ,1 ,0 = ( 0 ,0 ,- 2 ) e T 0 ,0 ,1 = ( - 1 ,0 ,3 ) . Determinrar T x , y , z e o vetor v ∈ R 3 tal que T v = ( 5 ,4 ,- 9 ) .
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + y , x - y , 0 )
a) Determinar a transformação linear T :R 3 → R 2 tal que T 1 ,- 1 ,0 = ( 1 ,1 ) , T 0 ,1 ,1 = ( 2 ,2 ) e T 0 ,0 ,1 = ( 3 ,3 ) .b) Achar T ( 1 ,0 ,0 ) e T ( 0 ,1 ,0 ) .