Enunciado

Seja

D =   λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n

Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja

A =   a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1       ⋮       … a n 2 … ⋮ a n n .

b) Mostre que o produto DA é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por λ i , ou seja, se A =   A 1 A 2 ⋮ A n , em que A i =   a i 1 … a i n é a coluna i de A, então

D A =   λ 1 A 1 λ 2 A 2 ⋮ λ n A n

Passo 1

Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz D, nxn, por uma matriz A, também nxn.

D A = a 11 λ 1 + 0 a 21 + … + 0 a n 1 a 12 λ 1 + 0 a 2 2 + … + 0 a n 2 … a 1 n λ 1 + 0 a 2 n + … + 0 a n n 0 a 11 + a 21 λ 2 + … + 0 a n 1 0 a 12 + a 2 2 λ 2 + … + 0 a n 2 … 0 a 1 n + a 2 n λ 2 + … + 0 a n n ⋮ 0 a 11 + 0 a 21 + … + a n 1 λ n                                                   ⋮                                             … 0 a 12 + 0 a 2 2 + … + a n 2 λ n … ⋮ 0 a 1 n + 0 a 2 n + … + a n n λ n

D A   = a 11 λ 1 a 12 λ 1 … a 1 n λ 1 a 21 λ 2 a 22 λ 2 … a 2 n λ 2 ⋮ a n 1 λ n           ⋮           … a n 2 λ n … ⋮ a n n λ n

Passo 2

Agora, sabendo que cada linha de A pode ser escrita da forma A i =   a i 1 … a i n , ou seja:

A 1 =   a 1 1 … a 1 n ,

A 2 =   a 2 1 … a 2 n ,

Até

A n =   a n 1 … a n n ,

Compreendemos que A pode ser escrita de modo que A =   A 1 A 2 ⋮ A n .

Passo 3

Por fim, realizando a multiplicação de cada coeficiente λ i , com i = 1, 2, 3... n, pela linha de A com i equivalente, obtemos:

λ 1 A 1 λ 2 A 2 ⋮ λ n A n

Mas sabemos que λ 1 A 1 é equivalente ao produto da matriz A 1 pelo escalar λ 1 , ou seja:

λ 1 A 1 =   λ 1 a 11 … λ 1 a 1 n .

Dessa forma, a matriz composta pelos produtos λ i A i , j = 1, 2, 3... n, é dada por:

λ 1 a 11 λ 1 a 12 … λ 1 a 1 n λ 2 a 21 λ 2 a 22 … λ 2 a 2 n ⋮ λ n a n 1           ⋮           … λ n a n 2 … ⋮ λ n a n n ,

A qual é a mesma matriz obtida pelo produto DA.

Resposta

D A   =   λ 1 A 1 λ 2 A 2 ⋮ λ n A n =   λ 1 a 11 λ 1 a 12 … λ 1 a 1 n λ 2 a 21 λ 2 a 22 … λ 2 a 2 n ⋮ λ n a n 1           ⋮           … λ n a n 2 … ⋮ λ n a n n

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Sejam:A = 1 - 3 0 0 4 - 2 e X = x y z Verifique que x A 1 + y A 2 + z A 3 = A X , em que A j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3.
Mostre que se A é uma matriz mxn tal que AX = 0, para toda matriz X, nx1, então A = 0.
Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 0 1 - 1 0 , então AB = BA.
Mostre que as matrizes A =1 1 y y 1 , em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X.