Enunciado

Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 0 1 - 1 0 , então AB = BA.

Passo 1

A primeira coisa é notar que, se A e B comutam com M, então, AM = MA e BM = MB.

Supondo que A seja uma matriz 2x2, tal que:

A =   a b c d

A multiplicação de A e M é dada por:

AM = 0 a - 1 b 1 a + 0 b 0 c - 1 d 1 c + 0 d

AM = - b a - d c

Já a multiplicação de M por A é dada por:

MA = 0 a + 1 c 0 b + 1 d - 1 a + 0 c - 1 b + 0 d

MA = c d - a - b

Visto que as matrizes comutam, então AM = MA:

- b a - d c =   c d - a - b

Ou seja, c = -b e d = a. Então podemos escrever a matriz A como:

A =   a b - b a

Passo 2

Podemos fazer para a matriz B o mesmo que foi feito para a matriz A. Supondo que B é uma matriz 2x2:

B =   e f g h

BM = 0 e - 1 f 1 e + 0 f 0 g - 1 h 1 g + 0 h = - f e - h g

MB = 0 e + 1 g 0 f + 1 h - 1 e + 0 g - 1 f + 0 h =   g h - e - f

Ou seja, g = -f e h = e. E a matriz B pode ser escrita como:

B =   e f - f e

Passo 3

Realizando as multiplicações AB e BA, podemos tirar a prova de que a as matrizes A e B comutam, caso os resultados sejam iguais. Assim:

AB = a e + b ( - f ) a f + b e - b e + a ( - f ) - b f + a e

Que pode ser reescrito como:

AB = a e - b f a f + b e - a f - b e - b f + a e

E

BA = - b f + a e a f + b e - a f - b e - b f + a e

Que pode ser reescrito como:

BA = a e - b f a f + b e - a f - b e - b f + a e

Resposta

AB = BA = a e - b f a f + b e - a f - b e - b f + a e , para a, b, c, d, e, f, g, h quaisquer.

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