Enunciado

Seja A uma matriz fixa de M n R . Mostrar que F : M n R → M n R dada por F X = X A - A X , ∀ X ∈ M n R , é linear.

Se A = λ I n com λ ∈ R , o que é F ?

Passo 1

Vamos lá!

Temos que verificar duas informações nesta questão. Primeiro, vamos provar que F é um operador linear. Depois, vamos verificar quem é F , se A = λ I n .

Então, começaremos pela primeira parte. Verificar se F é um operador é verificar se ele satisfaz as condições que uma transformação linear deve atender.

Mas sim, quais são essas condições? Vamos relembra-las! Seja um operador F : U → W e dois vetores u e v pertencentes a U . A primeira condição nos diz que:

F u + v = F u + F v

Se a relação acima for satisfeita, independentemente dos vetores u e v , teremos um operador linear? Não! Ainda não garantimos que ele é. Para garantir, a segunda condição também deve ser satisfeita. Então, seja um vetor u qualquer e um número real α , temos:

F α u = α F u

Passo 2

Vamos começar então verificando que temos um operador linear. Então, sejam X e Y dois vetores tais que:

F X = X A - A X

F Y = Y A - A Y

Então, vamos verificar se F X + Y = F X + F Y . Portanto,

F X + Y = X + Y A - A X + Y

F X + Y = X A + Y A - A X - A Y

F X + Y = X A - A X + Y A - A Y

F X + Y = F X + F Y

E assim verificamos que a primeira relação é satisfeita!

Passo 3

Será agora se a segunda relação também é satisfeita? Então, seja X um vetor e α pertencente aos reais, temos:

F α X = α X A - A α X

F α X = α X A - A α X

F α X = α X A - A X = α F X

E assim comprovamos também a segunda relação. Portanto, F é um operador linear sim!

Passo 4

Agora que sabemos que F é um operador linear, vamos verificar o que acontece com ele quando A = λ I n .

Para verificarmos, basta substituir esta relação na definição de F e verificar o que ocorre. Portanto,

F X = X A - A X

F X = X λ I n - λ I n X

F X = λ X I n - I n X

Como o produto de uma matriz X pela matriz identidade (ou vice-versa) é igual a própria matriz X , temos:

F X = λ X - X

F X = 0

E assim acabamos de verificar que, se A = λ I n , F é um operador linear nulo.

Resposta

Se A = λ I n , F é um operador linear nulo.

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