Enunciado

Seja F o operador linear do R 2 tal que F 1,0 = 2,1 e F 0,1 = 1,4

  1. Determinar F 2,4 ;
  2. Determinar x , y ∈ R 2 tal que F x , y = 2,3 ;
  3. Provar que F é sobrejetor e injetor (bijetor).

Passo 1

Mais uma questão com algumas letras! Vamos começar devagar. Uma letra por vez!

Na letra a) precisamos calcular F 2,4 . Será que precisaremos determinar a lei por trás do operador F para depois calcular quando x = 2 e y = 4 ?

Bom, esta é definitivamente uma opção. Mas, para esta letra, não é necessário. Podemos resolver ela aplicando as propriedades de um operador linear. Para isto, basta vocês perceberem que:

2,4 = 2 1,0 + 4 0,1

Então, sabendo que F u + v = F u + F v e F α u = α F u , temos:

F 2,4 = 2 F 1,0 + 4 F 0,1

F 2,4 = 2 ⋅ 2,1 + 4 ⋅ 1,4

F 2,4 = 4,2 + 4,16

F 2,4 = 8,18

E assim finalizamos a letra a)!

Passo 2

Agora, vamos partir para a letra b). Ela nos pede para determinar x , y ∈ R 2 tal que F x , y = 2,3 .

Podemos repetir um procedimento semelhante ao que foi repetido no paço anterior. Só que ao invés de multiplicarmos os vetores por 2 e 4, respectivamente, iríamos multiplicar por α e β , e assim descobrir estas incógnitas para depois descobrir o vetor original.

Mas, vamos fazer algo diferente, que inclusive irá nos ajudar na resolução da letra c). Isto é, vamos descobrir a lei por trás do operador F .

Para isto, vamos ter de escrever o vetor x , y como combinação linear de 1,0 0,1 . Então, temos que descobrir α e β tal que:

x , y = α 1,0 + β 0,1

x , y = α , β

Então, facilmente, temos que α = x e β = y . Portanto, o nosso operador F é:

F x , y = x F 1,0 + y F 0,1

F x , y = x 2,1 + y 1 , 4

F x , y = 2 x + y , x + 4 y

Então, queremos descobrir os valores de x e y tais que:

F x , y = 2 x + y , x + 4 y = 2,3

Então, basta resolver o seguinte sistema:

2 x + y = 2 x + 4 y = 3

Resolvendo o sistema, obtemos que x = 5 / 7 e y = 4 / 7 . Assim, resolvemos a letra b).

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos mostrar que a aplicação F é bijetora. Então, temos que dividir a análise em duas partes: chegar se F é injetora e depois checar se ela é bijetora.

Para checarmos que ela é injetora, basta verificar que o núcleo é o conjunto vazio. Isto é, ker ⁡ F = 0 . Mas o que é o núcleo? Ele é o conjunto dos vetores u tais que F u = 0 .

Então, basta resolvermos:

F x , y = 2 x + y , x + 4 y = 0,0

Estão vendo agora o motivo de encontrarmos a lei do operador F ? Então, vamos resolver o seguinte sistema:

2 x + y = 0 x + 4 y = 0

Como a solução do sistema acima é x = y = 0 , isto significa que ker ⁡ T = 0 , e assim provamos que o operador F é uma operação injetora.

Passo 4

Só nos resta provarmos que F é sobrejetora. Isto seria facilmente realizado se utilizarmos o teorema do núcleo e imagem para verificar que dim ⁡ I m F = 2 = dim ⁡ R 2 (de uma certa forma, resolvemos agora esta letra).

Mas bom, vamos fazer de uma forma diferente?

Vamos obter vetores diretores para a nossa imagem 2 x + y , x + 4 y . Isto é, vamos montar uma base para o espaço da imagem, e depois checaremos a dimensão desta base.

Ao verificarmos que a base tem a mesma dimensão do espaço R 2 , a qual é 2, estaremos confirmando que é uma operação sobrejetora.

Então, vamos obter agora a base para a nossa imagem. Logo,

2 x + y , x + 4 y = 2 x , x + y , 4 y

2 x + y , x + 4 y = x 2 , 1 + y 1 , 4

Então, como 2,1 e 1,4 são LI, uma base para a imagem é β = 2,1 , 1,4 . Como a base tem dois vetores, sua dimensão é 2. Assim, concluímos que F é sobrejetora.

Por fim, como F é sobrejetora e injetora, dizemos que ela é bijetora!

Resposta

  1. F 2,4 = 8,18 ;
  2. 5 7 , 4 7 .
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Seja T : V → w uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno.a) Mostre que N ( T * T = N ( T ) ; b) Mostre que se T e injetiva, então e T * T invertível. c) M