Enunciado

Seja A uma matriz n x n. Prove que o polinômio característico de A tem grau n. Prove que o coeficiente de λ n no polinômio característico é 1.

Passo 1

Primeiramente, vamos escrever uma matriz genérica A com dimensões n x n, da seguinte forma,

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Temos que lembrar também que para encontrarmos a equação característica temos que usar uma propriedade que já usamos em outros exercícios também,

det ⁡ A - λ I = 0

Dessa forma, podemos reescrever a matriz da seguinte forma,

d e t a 11 - λ ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n - λ = 0

Agora, não precisamos calcular todo o determinante para provarmos o grau do polinômio, só lembrarmos que que fazemos o produto dos termos da diagonal principal, no cálculo do determinante. Sabemos que nesse caso faremos uma multiplicação apenas com os λ , essa multiplicação que irá determinar o grau da equação, sendo assim,

( a 11 - λ ) ( a 22 - λ ) ⋯ ( a n n - λ )

Com isso, provamos que polinômio característico tem grau n.

Passo 2

O outro problema da questão, é bem mais simples, ao analisarmos o grau da equação, percebemos o grau dele será um, ou seja, λ n , sabendo que para chegarmos nesse resultado foi o produto entre todo os λ da diagonal principal e apenas eles, logo, o coeficiente de λ n no polinômio característico é 1.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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