Enunciado

14. Seja A uma matriz quadrada.

(a) Mostre que

I - A - 1 = I + A + A 2 + A 3

Se A 4 = 0 .

(b) Mostre que

I - A - 1 = I + A + A 2 + … + A n

Se A n + 1 = 0 .

Passo 1

(a) Vamos fazer só uma mágicazinha, mas depois vamos usar só as propriedades...

Olha... olhando pra isso me dá MUITA vontade de multiplicar dos dois lados por ( I - A ) ...

Lembra que: (só a definição de matriz inversa)

X - 1 X = I

Então, do lado esquerdo:

I - A I - A - 1 I - A = I

Hummmmmmmm... fica bonito, ne?

Vamos fazer dos dois lados:

I - A - 1 I - A = I + A + A 2 + A 3 I - A

Usando a propriedade distributiva e a definição de matriz inversa.

I = I I - A + A I - A + A 2 I - A + A 3 I - A

I = I 2 - I A + A I - A 2 I + A 2 I - A 3 I + A 3 I - A 4

Lembrando que a qualquer matriz multiplicada pla matriz identidade dá ela mesma...

X I = X

I X = X

Então:

I = I - A + A - A 2 + A 2 - A 3 + A 3 - A 4

Cortando tudo... BOOM..

A 4 = 0

Passo 2

(b) Aqui vamos fazer a mesma coisa...

Multiplicando dos dois lados e tals...

I - A - 1 I - A = I + A + A 2 + … + A n I - A

Blá blá blá...

I =   I I - A + A I - A + A 2 I - A + … + A n I - A

Já temos uma idéia de que tudo vai dar zero... Só vamos generalizar, dessa vez...

A n + 1 = 0

Resposta

(a) A 4 = 0

(b) A n + 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 13-19, decida se a matriz é simetrica.13. - 8 - 8 0 0
Nos exercícios 9-12, encontre por inspeção A2, A-2 e A-k (sendo k um inteiro qualquer).10. - 6 0 0 0 3 0 0 0 5
Nos exercícios 13-19, decida se a matriz é simetrica.17. 0 1 2 1 5 - 6 2 6 6
Nos exercícios 13-19, decida se a matriz é simetrica.16. 3 4 4 0
Nos exercícios 13-19, decida se a matriz é simetrica.19. 0 0 1 0 2 0 3 0 6