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Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ) , v 2 = ( 1 ,   2 ,   0 ,   1 ) e v 3 = ( - 4 ,   1 ,   5 ,   2 ) .

Passo 1

Aqui a gente quer um vetor que seja ortogonal a todos esses vetores ao mesmo tempo! O que vamos fazer? Bom, dois vetores ortogonais têm produto interno igual a 0 , então esse é o caminho. Vamos pegar um vetor genérico v = ( a ,   b ,   c ,   d ) e fazer o produto interno dele com todos os que ele deu, igualando a 0 .

Passo 2

Bora pra conta!

Com v 1 :

v ⋅ v 1 = a ,   b ,   c ,   d ⋅ 1 ,   1 ,   1 ,   - 1 = 0

a + b + c - d = 0

Com v 2 :

v ⋅ v 2 = a ,   b ,   c ,   d ⋅ 1 ,   2 ,   0 ,   1 = 0

a + 2 b + d = 0

Com v 3 :

v ⋅ v 3 = a ,   b ,   c ,   d ⋅ - 4 ,   1 ,   5 ,   2 = 0

- 4 a + b + 5 c + 2 d = 0

Passo 3

O nosso vetor tem que atender a todas essas equações! Vamos ter um sisteminha, ó:

a + b + c - d = 0 a + 2 b + d = 0 - 4 a + b + 5 c + 2 d = 0

Como a gente tem mais variáveis que equações, vamos ter infinitas soluções. Daí, se a gente achar uma solução, já valeu, porque ele só quer que a gente ache um. Vamos subtrair a primeira da segunda:

b - c + 2 d = 0   ( * )

Agora vamos somar 4 vezes a segunda na terceira pra cortar o a :

9 b + 5 c + 6 d = 0

Agora vamos sumir com o c :

9 b + 5 c + 6 d + 5 b - c + 2 d = 0

14 b + 16 d = 0

b = - 8 d 7

Volta com isso na equação marcada com ( * ) :

- 8 d 7 - c + 2 d = 0

c = 6 d 7

Pra fechar, substitui na segunda equação:

a + 2 - 8 d 7 + d = 0

a = 9 d 7

Passo 4

Beleza, encontramos a solução geral! O vetor v vai ser da forma:

v = 9 d 7 ,   - 8 d 7 , 6 d 7 ,   d

Ele quer que a gente bote um vetor qualquer na resposta, então vamos pegar d = 7 por exemplo!

v = ( 9 ,   - 8 ,   6 ,   7 )

Resposta

v = ( 9 ,   - 8 ,   6 ,   7 )

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