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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

x y = 2

Passo 1

Bom, já deu pra treinar bastante a rotação pelo método que o livro ensina, né? Vou mostrar um outro método agora que é muito mais prático! O nome é método dos invariantes. É assim: a equação completa da cônica é:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

E quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em B vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ B ' 2 - 4 A ' C ' = B 2 - 4 A C F ' = F

Essas letras, A ' , B ' , C ' e F ' serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: B ' = 0 , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse θ da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

t g 2 θ = B A - C

Se por acaso A = C , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que 2 θ = 90 ° , e aí o ângulo de rotação θ = 45 ° . Show de bola! Sabendo isso, podemos ir em frente!

Passo 2

A nossa equação é:

x y = 2

Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

A = C = D = E = 0

B = 1

F = - 2

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

t g 2 θ = 1 0 - 0

Opa, esse é exatamente o caso que eu falei aí em cima! Nesse caso, θ = 45 ° . Agora vamos pros invariantes:

A ' + C ' = 0 A ' - C ' = 1 s e n 90 ° = 1 F ' = - 2

Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar A ' = 1 2 e C ' = - 1 2 . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema x ' O y ' !

1 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 - 2 = 0

Dividindo tudo por 2 e passando o termo independente pro outro lado:

x ' 2 4 - y ' 2 4 = 1

Essa equação representa uma hipérbole!

Passo 3

Fazendo o esboço delas:

Resposta

x ' 2 4 - y ' 2 4 = 1

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