- Seja  um número real não-negativo. Mostre que, para todo  e todo  reais, o ponto  de coordenadas  pertence à superfície esférica de centro  e raio . De uma interpretação geométrica para  e . 
- Mostre que para todo ponto  de , existem números reais  e  tais que ,  e  (quando sujeito às condições ,  e , esses números são chamados coordenadas esféricas de ).
Passo 1
- Para mostrar que está numa superfície esférica de raio e centro , basta mostrar que as coordenadas de satisfazem a equação:
- Vimos no item (a) que:
Agora, note que
Logo,
que é o que queríamos demonstrar.
A interpretação geométrica é a seguinte:

Um ponto qualquer no espaço pode ser localizando pelos números , onde é a distância do ponto até a origem, é o ângulo que a projeção ortogonal do ponto no plano faz com o eixo e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
Passo 2
Note que existe , pois . Vamos provar agora a existência de :
Como , segue que
Assim, como , e como , segue que (lembre-se que );
a última desigualdade é condição suficiente para que exista real. Vamos agora provar a existência de :
Como , segue que (vamos considerar , de modo que )
Logo, como , segue que
a última desigualdade é condição suficiente para que exista real.
Passo 2
Observação: as coordenadas esféricas são muito importantes para a resolução de integrais triplas. Aprendê-las bem é altamente recomendado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
