Enunciado

Obtenha um equação da superfície esférica que contém os pontos ( 6 , - 1,3 ) e ( 0,7 , 5 ) , cujo centro pertence a reta interseção dos planos π 1 : x = 2 z - 3 e π 2 : y = z - 1

Passo 1

A reta que intersecciona os dois planos será dada por:

x + 3 = 2 z → z = x 2 + 3 2

y = z - 1 → z = y + 1

y + 1 = x 2 + 3 2 → y = x 2 + 1 2

Onde x 0 , y 0 e z 0 que são os centros da esfera respeitam essas equações, portanto:

z 0 = y 0 + 1

y 0 = x 0 2 + 1 2

Portanto:

z 0 = x 0 2 + 1 2 + 1 → z 0 = x 0 2 + 3 2

Passo 2

Então pela equação da esfera teremos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Onde ρ é o raio da esfera, portanto:

x - x 0 2 + y - x 0 2 - 1 2 2 + z - x 0 2 - 3 2 2 = ρ 2

Agora aplicando o primeiro ponto nós teremos:

6 - x 0 2 + - 1 - x 0 2 - 1 2 2 + 3 - x 0 2 - 3 2 2 = ρ 2

E aplicando o segundo ponto:

0 - x 0 2 + 7 - x 0 2 - 1 2 2 + 5 - x 0 2 - 3 2 2 = ρ 2

Abrindo a primeira equação nós iremos obter:

3 x 0 2 2 - 12 x 0 + 81 2 = ρ 2

E abrindo a segunda equação nós iremos ter:

3 x 2 2 - 10 x 0 + 109 2 = ρ 2

Igualando os dois ρ nós teremos:

3 x 0 2 2 - 12 x 0 + 81 2 = 3 x 2 2 - 10 x 0 + 109 2

- 2 x 0 - 14 = 0 → x 0 = - 7

Portanto:

y 0 = - 7 2 + 1 2 = - 3

z 0 = - 7 2 + 3 2 = - 2

E o valor de ρ será:

3 ⋅ 7 2 2 - 12 ⋅ - 7 + 81 2 = ρ 2 = 198

Logo a equação da esfera fica:

x + 7 2 + y + 3 2 + z + 2 2 = 198

Abrindo essa equação nós iremos ter:

x 2 + y 2 + z 2 + 14 x + 6 y + 4 z - 136 = 0

Resposta

x + 7 2 + y + 3 2 + z + 2 2 = 198

Ou:

x 2 + y 2 + z 2 + 14 x + 6 y + 4 z - 136 = 0

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