Enunciado

Seja M 22 → M 22 o operador linear definido por

T X = 1 1 0 0 X + X 0 0 1 1

Encontre o posto e a nulidade de T

Passo 1

O domínio da transformação linear é M 22 , então a matriz X é uma matriz 2 × 2 qualquer:

X = a b c d

Vamos aplicar a transformação linear:

T X = 1 1 0 0 X + X 0 0 1 1

T X = 1 1 0 0 a b c d + a b c d 0 0 1 1

Executamos os produtos matriciais:

T X = a + c b + d 0 0 + b b d d

E efetuamos a soma matricial:

T X = a + b + c 2 b + d d d

Passo 2

Para encontrar o núcleo de T , temos que determinar o conjunto de valores em que:

T X = 0

Aplicando a transformação calculada no passo anterior:

a + b + c 2 b + d d d = 0 0 0 0

Então:

    a + b + c = 0 a + 2 b + d = 0   a + 2 b + d = 0

O que leva a:

a + c = 0 a +   b = 0 a +   d = 0

Se chamarmos a = t , então c = - t .

a = t b = 0 c = - t d = 0

Então a matriz do núcleo será:

N u c T = 1 0 - 1 0 t

A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo.

N u l T = dim ⁡ N u c T = 1

Passo 3

Para calcular a nulidade vamos usar o Teorema 8.1.4: Teorema da Dimensão

P o s T + N u l T = n

Como M 22 é um espaço vetorial de dimensão 4 , então n = 4 . Vamos aplicar:

P o s T + 1 = 4

P o s T = 3

Resposta

N u l T = 1

P o s T = 3

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