Enunciado

Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Mostre que o conjunto de vetores B para os quais o sistema A X = B tem solução é um subespaço de R m . Ou seja, mostre que o conjunto

I ( A )   =   { B ∈ R m | B = A X ,   p a r a   a l g u m   X ∈ R n }

é um subespaço de R m .

Passo 1

Eaew, tudo em cima?

Vamos lembrar a definição de um subespaço, beleza? Se nós temos uma matriz m × n e W ⊂ R m o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X = 0 ̄ , em que W respeita as seguintes propriedades:

a) Se X e Y pertencem a W , então X + Y também pertence a W .

b) Se X pertence a W , então α X também pertence a W para todo escalar α .

Se temos um subconjunto não vazio que obedece a) e b), então ele é um subespaço do R m . Belezinha? Isso já é o suficiente para demonstrarmos o que precisamos, bora lá!

Passo 2

Primeiramente temos que X deve ser uma matriz n × 1 nesta perspectiva, ou seja, uma coluna com n linhas, para que o produto entre a matriz A , que é m × n , resulte na matriz B , que é m × 1 . Vamos então supor a existência de uma segunda matriz Y , que também é n × 1 , e construir o seguinte:

M   =   X + Y

Será que M também obedece a mesma relação? Vamos verificar! Saca só

A ( X + Y ) = B → A X + A Y = B → 2 B = B → B = 0 ̄

Portanto, temos a relação A X = 0 ̄ . Como ambos X e Y pertencem ao R n , temos que a propriedade aditiva é válida! Vamos verificar a próxima propriedade.

Passo 3

Agora precisamos introduzir um novo vetor construído da forma Z = α X , como estamos apenas multiplicando por um escalar, temos que Z   ∈   R n . Nós temos então que:

A Z   =   B → α A X = B → α B = B → B = 0 ̄

Novamente, temos a relação A Z = 0 ̄ e A X = 0 ̄ . Como ambas propriedades, a) e b), nos levam a relação A X = 0 ̄ , quando tratamos do conjunto I ( A ) , então temos que I ( A ) é um subconjunto de R m . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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Sejam E = u → ,v → ,w → uma base e M ( t ) a matriz 1 + 2 t - t 0 - t 1 - t - 3 t t 2 t 1 + 4 t a) Que valores deve tomar t para M ( t ) seja matriz de mudança de E para uma base F ( t ) ?b) Especifiq
Escreva vec t = ( 4 , 0 , 13 ) como combinação linear de vec u = (1 , - 1 , 3) , vec v = (2 , 1 , 3) , vec w = ( - 1 , - 1 , 4 ) .
Sejam u → ,v → e w → como no exercício 7-3. Verifique se u → é combinação linear de v → ,w → .
vec u = ( 1 , - 1 , 3 ) pode ser escrito como combinação linear de vec v = (- 1 , 1 , 0) , vec w = (2 , 3 , (1)/(3)) ?
Sendo u → = 1 ,- 1 ,3 ,v → = 2 ,1 ,3 ,w → = ( - 1 ,- 1 ,4 ) , determine a tripla de coordenadas de:a) u → + v → b) u → - 2 v → c) u → + 2 v → - 3 w →