Enunciado

Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) é paralelo ao vetor ́ i +j. Ache o ângulo entre π1 e π2.

Passo 1

Bem galera, vamos resolver essa questão aos poucos, temos então:

Seja π 1   , um plano que passa pelos pontos A(1,1,1), B(1,0,1) e C(1,1,0);

Com isso podemos concluir que AB e AC são vetores pertencentes ao plano.

Ou seja:

AB = B - A

AB = (0,-1,0)

AC = C - A

AC = (0,0-1)

Passo 2

Agora, devemos fazer o produto vetorial;

Temos: (-j)X(-k) = +i

Com isso vamos encontrar o vetor normal ao plano N p 1 = (1,0,0)

Vamos utilizar o vetor normal para encontrar o ângulo entre os planos.

Seja π ² o plano que passa pelos pontos P ( 0,0,1) e Q (0,0,0) e é paralelo ao vetor i+j tal que ele passa pelo plano PQ

Temo então que o plano é paralelo ao vetor i+j;

Passo 3

Agora precisamos analisar o seguinte: se o vetor i+j é paralelo ao plano, isso significa que ele também é paralelo ao ponto PQ e ao fazer o produto vetorial de PQ e i+j encontraremos o vetor normal.

Encontramos agora o vetor normal ao plano 2.

Passo 4

Agora com tudo que temos, podemos achar o ângulo entre π ¹ e π ².

Vamos encontrar o ângulo a partir dessa fórmula;

Sabendo que:

Vamos fazer o produto escalar entre ele:

Agora por fim, calcular o ângulo entre os vetore:

Resposta

O ângulo entre os dois planos é de 45°.

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