Enunciado

É verdade que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Se V e W são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos T : V → W é um isomorfismo de espaços com produto interno se

T ( u ) , T ( v ) = u , v

E dado um conjunto { u ,   v } dizemos que ele é ortonormal se

u , v = 0

u , u = v , v = 1

Logo isso quer dizer que

T ( u ) , T ( v ) = 0

T ( u ) , T ( u ) = T ( v ) , T ( v ) = 1

Passo 2

Portanto se o conjunto u ,   v V é ortonormal em V , após a transformação, o conjunto T u ,   T v W vai ser ortonormal em W . Por isso que um isomorfismo de espaços com produto interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais.

Resposta

Demonstração

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Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. T : R m → R m ; n u l T = 0 . T : R n → R n : p o s T = n - 1 . T : R m → R n ; nm . T : R n → R n ; R T =
Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 o operador linear que reflete cada ponto no eixo y .Encontre o núcleo de T . T será injetora? Justifique sua resposta.
Quais das transformações do Exercício 1 são sobre. T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( y ,x ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( 0 ,2 x + 3 y ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( x + y ,x - y ) . T : R 2 → R 3
Seja T : V → V um operador linear. Prove que T é injetor se, e só se, det ⁡ T ≠ 0