Enunciado

Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y - z = 0   e   2 x - y + 3 z - 1 = 0 . Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, −1) e contem a reta r.

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Vamos resolver mais essa! Primeiramente, precisamos encontrar essa reta r que é interseção dos dois planos. A gente encontra resolvendo esse sistema aqui:

x + y - z = 0 2 x - y + 3 z = 1

Vamos escalonar esse sistema:

1       2       1     - 1 - 1       3 0 1

Passo 2

Fazendo: L 2 - 2 L 1 , temos:

1       0       1     - 3 - 1       5 0 1

Dividindo a segunda linha por - 3 para obter 1 no segundo termo:

1       0       1     1 - 1           - 5 / 3       0 - 1 / 3  

Agora fazemos L 1 - L 2 :

1       0       0           1         2 / 3       - 5 / 3       1 / 3         - 1 / 3  

Ficamos então com:

x + 2 3 z = 1 3 y - 5 3 z = - 1 3

Chamando z = t , temos a reta interseção:

x = 1 3 - 2 3 t y = - 1 3 + 5 3 t z = t

Passo 3

Temos então o vetor - 2 3 , 5 3 ,   1 da reta, que é paralelo ao plano procurado.

Temos também que a reta r passa pelo ponto B = 1 3 , - 1 3 , 0 .

Como o plano procurado contém essa reta e passa pelo ponto A = ( 1,0 , - 1 ) , ele é paralelo ao vetor   A B → também.

Esse vetor é:

A B → = - 2 3 ,   - 1 3 , 1

Passo 4

Veja que temos então 2 vetores paralelos e um ponto, precisamos de um vetor normal ao plano. Vamos então fazer o produto vetorial entre esses vetores:

i j k - 2 3 - 1 3 1 - 2 3 5 3 1 = - 2 i + 0 j - 4 3 k  

Esse é o vetor normal do plano. Então ele tem essa forma aqui:

- 2 x - 4 3 z + d = 0

Passo 5

Para descobrir esse d , podemos substituir o ponto A ( 1,0 , - 1 ) :

- 2 1 - 4 3 - 1 + d = 0

d = 2 3

Temos então o plano procurado:

- 2 x - 4 3 z + 2 3 = 0

(Multiplicando por -3 para ficar mais bonitinho...)

= 6 x + 4 z - 2 = 0

Resposta

6 x + 4 z - 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a reta r : ( x ,y ,z )=( - 1 ,2 ,3 )+t ( 2 ,- 3 ,0 ) , escrever equações paramétricas de r .
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: A 1 , - 1,2 ; B ( 2,1 , 0 )
Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que b) a abscissa seja igual à ordenada;
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:c) A 1,2 , 3 ; B ( 1,3 , 2 ) .
Com base na Figura 5.14, escrever equações paramétricas da reta:d) B e C .