Enunciado

Seja W um subespaço de um espaço euclidiano de dimensão finita V. Para todo v ϵ V, seja v = w + w ' com w ϵ W e w' ϵ W ⊥ . Mostrar que a aplicação T :   V → V dada por: T ( v ) = w - w ' é linear e tem a seguinte propriedade < u ,   T ( v ) >   =   < T ( v ) ,   u > , ∀ u , v   ϵ   V .

Passo 1

Considere T ( u + v ) =   a + a ' , com u + v = a + a '

Seja u = b + b ' e v = c + c ' . Temos que:

T ( u + v ) =   a + a '

b + b ' + c + c ' =   a + a '

( b + c ) + ( b ' + c ' ) = a + a '

Note que ( b + c ) ϵ   W e ( b ' + c ' ) ϵ   W ⊥ , então pela unicidade da decomposição temos:

Se ( b + c ) + ( b ' + c ' ) = a + a ' então a = ( b + c )     e     a ' = ( b ' + c ' )

Vamos agora aplicar esse resultado em T ( v ) :

T ( u + v ) = a - a '

T ( u + v ) = b + c - b ' - c '

T ( u + v ) = b - b ' + c - c '

T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v )

Assim temos que T é linear.

Passo 2

Vamos agora mostrar que a propriedade < u ,   T ( v ) >   =   < T ( v ) ,   u > , ∀ u , v   ϵ   V . Sabemos que T é linear logo podemos escrever:

< u ,   T ( v ) >   =   < u ,   w - w ' >

< u ,   T ( v ) >   =   < u ,   w >   -   < u , w ' >

< u ,   T ( v ) >   =   < w , u >   -   < w ' , u >

< u ,   T ( v ) >   =   < w - w ' , u >

< u ,   T ( v ) >   =   <   T ( v ) , u >

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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