Enunciado

No plano, uma rotação de π / 3 radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y .

a) Mostrar que a transformação é um isomorfismo.

b) Determinar a inversa da transformação definida.

Passo 1

O problema fornece duas transformações sucessivas que agem sobre um vetor do R 2 . Temos que provar que a transformação resultante é um isomorfismo e determinar sua inversa.

Sabemos que para a composição de operadores, vale a regra do produto:

T = A ∘ B = A ⋅ [ B ]

Assim, basta achar a matriz correspondente a cada uma das transformações e multplicá-las. Cuidado que a ordem é importante: B representa a primeira transformação e A a segunda.

Com, B representa uma rotação com θ = π / 3 . Uma rotação genérica por um ângulo θ é representada pela matriz de rotação

cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Usando θ = 60 ° , obtemos a matriz:

B = cos ⁡ 60 ° - s e n   60 ° s e n   60 ° cos ⁡ 60 ° = 1 2 1 - 3 3 1

Já a segunda transformação é uma reflexão em torno do eixo y :

x , y → ( - x , y )

Nesse tipo de transformação, o sinal da coordenada x é trocado. Note isso é dado pela matriz

- 1 0 0 1 → - 1 0 0 1 ⋅ x y = - x y

Portanto,

A = - 1 0 0 1

Assim, fazendo o produto de matrizes:

T = - 1 0 0 1 ⋅ 1 2 1 - 3 3 1 = 1 2 - 1 3 3 1 = - 1 2 3 2 3 2 1 2

Essa matriz T representa toda a transformação dada pelo enunciado.

Passo 2

Vamos calcular o determinante dessa transformação:

det ⁡ T = - 1 2 3 2 3 2 1 2 = - 1 4 - 3 4 = - 1 ≠ 0

Como o determinante é não nulo, a matriz admite inversa e a transformação é invertível! Isso é a mesma coisa que dizer que a transformação é um isomorfismo.

Para achar a inversa, vamos usar o truque das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim, como vimos que a d - b c = - 1 , segue que

T - 1 = 1 ( - 1 ) 1 2 - 3 2 - 3 2 - 1 2 = - 1 2 3 2 3 2 1 2

Olha que curioso: nesse caso, temos que T - 1 = T .

Passo 3

Para achar a transformação inversa, basta fazer o produto da matriz T - 1 por um vetor coluna genérico x ,   y :

- 1 2 3 2 3 2 1 2 ⋅ x y = - x 2 + y 3 2 x 3 2 + y 2

Portanto,

T - 1 x , y = - x 2 + y 3 2 , x 3 2 + y 2

Resposta

T - 1 x , y = - x 2 + y 3 2 , x 3 2 + y 2

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Se I B A = 0 1 0 1 1 0 1 1 1 determinar v A , sabendo que: v B = 3 - 2 0
Encontrar três matrizes semelhante à matriz: 1 1 - 1 2
Sabendo que: I B A = - 7 6 - 11 8e A = 1 ,3 ,2 ,- 4 , determine a base B .