Enunciado

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 .

T :   R 2 → R 2 ,         T x , y = ( 5 x + 2 y , - 4 x - 2 y )

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.

Para construir a matriz de transformação, temos que

T 1 ,   0 = ( 5 , - 4 )

T 0 ,   1 = ( 2 ,   - 2 )

Assim,

T = 5 2 - 4 - 2

Note que

det ⁡ T = - 10 + 8 = - 2 ≠ 0

Portanto, [ T ] admite inversa e T é invertível.

Passo 2

Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de [ T ] . Para isso, vamos usar o truque para as matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Cuidado: esse truque só vale para inverter matrizes 2 × 2 !

Neste caso,

T - 1 = T - 1 = 1 ( - 2 ) - 2 - 2 4 5 = 1 1 - 2 - 5 / 2

Passo 3

Assim, a transformação inversa é dada por

1 1 - 2 - 5 / 2 ⋅ x y = x + y - 2 x - 5 y 2

Portanto,

T - 1 x , y = x + y , - 2 x - 5 y 2

Resposta

T - 1 x , y = x + y , - 2 x - 5 y 2

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