Enunciado

Seja W o subespaço de M ( 3,2 ) gerado por

0 0 1 1 0 0 ,   0 1 0 - 1 1 0   e   0 1 0 0 0 0   .

O vetor 0 2 3 4 5 0 pertence a W ?

Passo 1

Fala meu querido, para responder à questão vamos ter que descobrir se é possível representar o vetor 0 2 3 4 5 0 como combinação linear dos vetores da base desse subespaço. Lembrando que a base desse subespaço é descrita com os três vetores que foram dados para gente no enunciado.

Passo 2

Vamos então montar a seguinte equação matricial para verificar isso:

a 0 0 1 1 0 0 + b   0 1 0 - 1 1 0 + c 0 1 0 0 0 0 = 0 2 3 4 5 0

Que gera o seguinte sistema linear:

0 a + 0 b + 0 c = 0   ; 0 a +   b + c = 2 a + 0 b + 0 c = 3   ;   a - b + 0 c = 4 0 a + b + 0 c = 5   ;   0 a + 0 b + 0 c = 0

Repare que cada linha tem duas equações e que se conseguirmos encontrar a ,   b   e   c significa que o vetor pertence a W . Esse sistema pode ser reescrito de forma mais simples:

0 = 0   ; b + c = 2 a = 3   ; a - b = 4 b = 5   ; 0 = 0

Por enquanto não observamos nenhuma inconsistência, então vamos tentar descobrir os valores das incógnitas.

Passo 3

Pela primeira equação da segunda linha, e a primeira equação da terceira linha estão definidos a   e   b , de forma que:

a = 3   e   b = 5

Substituindo b na segunda equação da primeira linha:

5 + c = 2 ⇒ c = - 3

Substituindo a na quarta equação:

3 - 5 = - 2 ≠ 4

Logo, temos uma incompatibilidade na segunda equação da segunda linha, o que torna impossível representar esse vetor nessa base.

Resposta

Não pertence.

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