Enunciado

Seja W o subespaço de M ( 2,2 ) definido por

W = {[[[2,a,a,+,2,b],[0,a,-,b]]] : a , b in R}

  1. [[[0,-,2],[0,1]]] in W ?
  2. [[[0,2],[3,1]]] in W ?

Passo 1

Fala meu querido, para resolver essa questão, primeiramente devemos encontrar a base de W , isolando a e b :

[[[2,a,a,+,2,b],[0,a,-,b]]] = a [[[2,1],[0,1]]] + b [[[0,2],[0,-,1]]]

Passo 2

  1. Com a base pronta precisamos descobrir se é possível representar a matriz [[[0,-,2],[0,1]]] como combinação linear dos vetores da base. Vamos investigar:
  2. a [[[2,1],[0,1]]] + b [[[0,2],[0,-,1]]] = [[[0,-,2],[0,1]]]

    Dessa equação matricial podemos montar o sistema:

    {[[2 a + 0 b = 0],[a + 2 b = - 2],[0 a + 0 b = 0],[a - b = 1]])

    Resolvendo esse sistema encontramos da primeira linha:

    2 a = 0 -> a = 0

    Da segunda linha:

    0 + 2 b = - 2 => b = - 1

    Esses valores concordam com a terceira e a quarta equação, logo, o sistema é compatível e é possível representar essa matriz como combinação linear dos vetores dessa base.

    Passo 3

  3. Repetindo o que foi feito, vamos descobrir se é possível representar a matriz [[[0,2],[3,1]]] na base de W :

a [[[2,1],[0,1]]] + b [[[0,2],[0,-,1]]] = [[[0,2],[3,1]]]

Que gera o sistema:

{[[2 a + 0 b = 0],[a + 2 b = 2],[0 a + 0 b = 3],[a - b = 1]])

Podemos observar que a terceira equação contém um absurdo, o que torna o sistema incompatível.

Resposta

  1. Sim;
  2. Não.
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