Enunciado

Sejam W 1 = { x , y , z , t ∈ R 4 | x + y = 0   e   z - t = 0 } e W 2 = { x , y , z , t ∈ R 4 | x - y - z + t = 0 }

Subespaços de R 4 .

  1. Determine W 1 ∩ W 2 .
  2. Exiba uma base para W 1 ∩ W 2 .
  3. Determine W 1 + W 2 .
  4. W 1 + W 2 é soma direta? Justifique.
  5. W 1 + W 2 = R 4 ?

Passo 1

  1. Bom, para fazer a intersecção de dois conjuntos, devemos olhar para o que eles tem em comum, certo?
  2. Então as coordenadas devem obeder ao seguinte sistema:

    x + y = 0 z - t = 0 x - y - z + t = 0

    Da primeira e segunda equações:

    x = - y   e   z = t

    Substituindo na terceira:

    - y - y - z + z = 0 ⇒ y = 0

    Então x = 0 .

    Os vetores da intersecção são da forma:

    ( 0,0 , z , z )

    Em outras palavras, a interseção é o subspaço gerado pelo vetor:

    ( 0,0 , 1,1 )

    Passo 2

  3. Do item anterior fica tranquilo determinar a base certo? Basta colocar o z em evidência:
  4. z ( 0,0 , 1,1 )

    Logo a base tem dimensão 1 e é dada pelo vetor acima quando fazemos z = 1 .

    Passo 3

  5. Da definição, W 1 + W 2 é formado pelos vetores que são expressos como soma dos vetores de W 1 e W 2 .
  6. v ∈ W 1 + W 2 ⇒ v = w 1 + w 2

    Para determinar esse subespaço, precisamos encontrar um vetor gerador. Concorda que é suficiente achar as bases separadas de W 1 e W 2 ? Pode até não ser uma base para W 1 + W 2 , mas com certeza é um conjunto gerador.

    Então vamos lá.

    Passo 4

    Base para W 1 :

    x , - x , z , z = x 1 , - 1,0 , 0 + z ( 0,0 , 1,1 )

    Base para W 2 :

    ( x , y , z , t )

    Da condição para W 2 :

    x - y - z + t = 0 ⇒ x = y + z - t

    Ai a gente substitui:

    y + z - t , y , z , t = y 1,1 , 0,0 + z 1,0 , 1,0 + t ( - 1,0 , 0,1 )

    Então uma base para W 2 é 1,1 , 0,0 ,   1,0 , 1,0   e   ( - 1,0 , 0,1 ) .

    Assim, podemos determinar W 1 + W 2 como sendo:

    [ 1 , - 1,0 , 0 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,0 , 1,0 , 1,0 , ( - 1,0 , 0,1 ) ]

    Passo 5

  7. Lembre-se que para ser soma direta, o único elemento de W 1 ∩ W 2 é o vetor nulo. Do item a) a gente vê que não é esse o caso, do que a segue que não é uma soma direta.
  8. Passo 6

  9. Para que isso seja verdade, devemos mostrar que o conjunto gerador tem dimensão 4, concorda? Nesse caso, ele formaria uma base para o R 4 .

Vamos verificar quantos vetores LI conseguimos tirar do conjunto gerador. Como fazemos isso? Isso mesmo, combinação linear nula:

a 1 , - 1,0 , 0 + b 0,0 , 1,1 + c 1,1 , 0,0 + d 1,0 , 1,0 + e - 1,0 , 0,1 = 0

Que gera o sistema:

a + c + d - e = 0 - a + c = 0 b + d = 0 b + e = 0

Do sistema acima, o que a gente tira?

d = e = - b

a = c

a = c = 0

Dessa forma, nosso sitema fica:

b 0,0 , 1,1 - b 1,0 , 1,0 - b - 1,0 , 0,1 = 0

Veja que, se pegarmos b ≠ 0 , podemos escrever 0,0 , 1,1 como combinação linear dos outros dois vetores.

Ou seja, temos dois candidatos à base de W 1 + W 2 :

1,0 , 1,0   e   ( - 1,0 , 0,1 )

Vemos então que a base tem no máximo dois elementos, de modo que W 1 + W 2 não pode ser igual ao R 4 .

Resposta

  1. (0,0,z,z);
  2. ( 0,0 , 1,1 ) ;
  3. [ 1 , - 1,0 , 0 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,0 , 1,0 , 1,0 , ( - 1,0 , 0,1 ) ] ;
  4. Não;
  5. Não.
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Encontre as dimensões dos seguintes subespaços do R 4 :(a) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde d = a + b ; (b) Todos os vetores da forma ( a , b , c , d ) , onde c = a - bed = a + b ; (
Se V 1 ,V 2eV 3 são vetores de um espaço vetorial Vew é o subespaço gerado por V 1 , V 2eV 3 , então a dimensão de w e igual a 3?
Mostre que se Vew são subespaços de dimensão 2 de um espaço vetorial de dimensão 3, então V ∩ w ≠ 0 - O mesmo seria verdade se estes fossem subespaços de um espaço vetorial de dimensão 4?
Em C 0 [ - π , π ] , encontre a dimensão do subespaço gerado por 1 , cos ⁡ 2 t , cos 2 ⁡ t .
Para a ∈ V fixado, determine a dimensão do subespaço de p n definido por: w = p ∈ p n p a = 0 .