Enunciado

Sejam w 1   e   w 2 subespaços de um espaço vetorial V.

(a) Seja V = w 1 ⊕ w 2 . Se β 1 e uma base de w 1   e   β 2 e uma base de w 2 , mostre que B 1 ∩ B 2 = ∅     e     B 1 ∪ B 2 é uma base de 𝕍.

(b) Reciprocamente, se B 1   e   B 2 são bases disjuntas de w 1   e   w 2 , respectivamente e B 1 ∪ B 2 e uma base de V , mostre que V = w 1 ⊕ w 2 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja w 1   e   w 2 subespaços de um espaço vetorial V.

(a) Seja V = w 1 ⊕ w 2 . Se β 1 e uma base de w 1   e   β 2 e uma base de w 2 , mostre que B 1 ∩ B 2 = ∅     e     B 1 ∪ B 2 é uma base de 𝕍.

(b) Reciprocamente, se B 1   e   B 2 são bases disjuntas de w 1   e   w 2 , respectivamente e B 1 ∪ B 2 e uma base de V , mostre que V = w 1 ⊕ w 2 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para,

V = w 1 ⊕ w 2 , sendo β 1 uma base de w 1   e   β 2

Para mostrarmos que B 1 ∩ B 2 = ∅ , temos

β = { v 1 , … , v m } , logo

β ' = { w 1 , . . , w n }

Na letra (b) para,

B 1 ∪ B 2 tal que

V = w 1 ⊕ w 2 , ficando

V = R n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) β ' = { w 1 , . . , w n }

b) V = R n

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,2 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,0 ,1 ,( 1 ,5 ,2 ,1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços:
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por