Enunciado

Sejam U 1 , U 2   e   U 3 três vetores unitários mutualmente ortogonais. Se A = U 1 U 2 U 3 é uma matriz 3 × 3 cujas colunas são os vetores U 1 , U 2   e   U 3 , então A é invertível e A - 1 = A t . (Sugestão: mostre que A t A = I 3 .)

Passo 1

Oiii, tudo certinho? Vamos resolver mais uma questão aqui!

Nesta questão vamos começar lembrando o que define a inversa de uma matriz qualquer! Ela se dá como a matriz tal que:

A - 1 A = I 3

Em que I 3 é a matriz identidade em 3 dimensões. Ser invertível quer dizer ter uma solução para a equação acima, vamos partir desta suposição, beleza? Agora, vamos tentar mostrar o que o enunciado nos pede através da sugestão. Bora lá!

Passo 2

Temos que

A t = U 1 t U 2 t U 3 t  

Portanto, temos que:

A t A = U 1 t U 2 t U 3 t U 1 U 2 U 3

Vamos lembrar de mais algumas definições, beleza?

Passo 3

Se identificarmos que

U i t U j = U i ⋅ U j

E utilizando a informação que eles são vetores mutualmente ortogonais, temos que

U i U j = 0   s e   i ≠ j   e   U i U j = 1   s e   i = j

Já que temos vetores unitários. Sendo assim, temos que

A t A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I 3

Portanto, temos que A t = A - 1 , como queríamos demonstrar. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).
Sabe-se que o vetor X é ortogonal a i → + j → e a - i → + k → , tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X e j → , tem-se cos θ0. Ache X.
Ache X tal que X xx ( vec i + vec k ) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖X‖ = sqrt(6) .
Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. Calcule a sua área.
Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.