Enunciado

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S = u 1 ,   u 2 de R 2 .

a) u 1 = 1 ,   0 ,           u 2 = 0 ,   1             e           w = 3 ,   - 7

b) u 1 = 2 ,   - 4 ,             u 2 = 3 ,   8             e           w = 1 ,   1

c) u 1 = 1 ,   1 ,                 u 2 = 0 ,   2               e               w = a ,   b

Passo 1

Legal, vamos resolver esse exercício bem simples para começar a entender melhor o processo de mudança de base!

Vamos começar pelo item (a):

O exercício quer que você ache as coordenadas do vetor w na base S = u 1 ,   u 2 . Na base canônica, o vetor w é dada por

w = 3 ,   - 7 c a n

Coloquei o índice c a n para indicar que essas são as coordenadas na base canônica. Mas aqui, observe que a base S é a base canônica pois os vetores u 1 e u 2 são os vetores canônicos de R 2 . Com isso, nesse item (a) você não precisar fazer nenhuma conta, a resposta já foi dada de cara para você

w = 3 ,   - 7 S

Passo 2

No item (b), as coisas já vão ser um pouquinho diferentes! Agora S não é mais a base canônica! Assim, para achar w na base S , devemos usar a relação

w S = P c a n → S   w c a n

Já sabemos que

w c a n = 1 1

Lembre-se que quando usamos a representação em colchetes estamos falando de um vetor coluna. Para achar o vetor coluna w S precisamos construir a matriz de mudança de base P c a n → S .

Para isso, precisaríamos conhecer os vetores da base canônica (antinga) em termos dos vetores da base S (nova). Vamos procurar essa matriz usando o procedimento ensinado pela equação (14) dessa seção do livro. Primeiro nós construímos uma matriz expandida do tipo

b a s e   n o v a       b a s e   v e l h a ]

As colunas dessa matriz serão os vetores das bases. Lembre-se que aqui, a base antinga é a base canônica 1 ,   0 ,   0 ,   1 e base nova é S = 2 ,   - 4 ,   3 ,   8 . Assim, a matriz fica

2 3 - 4 8 1 0 0 1

Agora temos que fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado direito na identidade. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 , somamos com a segunda e substituímos ela na segunda linha:

2 3 0 14 1 0 2 1 → 2 3 0 1 1 0 1 7 1 14

Aproveitei e já dividi a segunda linha por 14 na última passagem. Agora, multiplicamos a segunda linha por - 3 e somamos com a primeira:

2 0 0 1 4 7 - 3 14 1 7 1 14 → 1 0 0 1 2 7 - 3 28 1 7 1 14

Portanto, a matriz de transição é

P c a n → S = 2 / 7 - 3 / 28 1 / 7 1 / 14

OBS: note que na prática, o que fizemos foi achar a inversa da matriz P S → c a n que é dada por

P S → c a n = 2 3 0 14 ⇒ 2 3 0 14 - 1 = 2 / 7 - 3 / 28 1 / 7 1 / 14

Feito isso, podemos escrever:

w S = 2 / 7 - 3 / 28 1 / 7 1 / 14 ⋅ 1 1

Fazendo a multiplicação de matrizes:

w S = 5 / 28 3 / 14

Assim, na base S , o vetor w é escrito como

w = 5 28 , 3 14 S

Passo 3

Bom, agora que você já viu como devemos fazer o item (b), vou resolver o item (c) de um jeito um pouquinho mais rápido!

Agora, temos que S = 1 ,   1 ,   0 ,   2 . Portanto, temos a matriz

1 0 1 2 1 0 0 1

Multiplicando a primeira linha por - 1 e somando com a segunda:

1 0 0 2 1 0 - 1 1

Daí, basta dividir a segunda linha por 2 :

1 0 0 1 1 0 - 1 / 2 1 / 2

Logo, a matriz de transição é

P c a n → S = 1 0 - 1 / 2 1 / 2

Nesse caso, temos que

w c a n = a b

Portanto,

w S = P c a n → S   w c a n = 1 0 - 1 / 2 1 / 2 a b = a - a 2 + b 2

Desta forma, o vetor w é escrito como

w = a ,   - a 2 + b 2 S

Resposta

w = 3 , - 7 S

w = 5 28 , 3 14 S

w = a ,   - a 2 + b 2 S

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Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +
Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.a) M E F
Seja O o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo A B C D P Q R S da Figura 8-1. a) Determine a matriz de mudança da base E = A B → ,A D → ,A P → para a base F = O P → ,O S → ,O R → .b) Seja