Enunciado

Sejam E = e → 1 , e → 2 , e → 3 e F = f → 1 , f → 2 , f → 3 bases ortonormais tais que

f → 3 = e → 3                     θ 1 = ang ⁡ f → 1 , e → 1                     θ 2 = ang ⁡ f → 2 , e → 2

(a) Se θ 1 = θ 2 , pode-se afirmar que E e F são concordantes?

(b) Prove que, se E e F são discordantes, a matriz M E F tem a forma

cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ   - cos ⁡ θ 0 0 0 1

em que θ percente ao invervalo [ 0,2 π ]

(c) Prove que, se θ 1 = θ 2 ≠ π / 2 então E e F são concordantes.

Passo 1

(a) Vamos começar desenhando o sistema E = e → 1 , e → 2 ,   e → 3 normalmente:

Agora vamos imaginar como é a matriz de rotação desse sistema E para o sistema F = f → 1 , f → 2 , f → 3 , considerando que :

f → 3 = e → 3                     θ 1 = ang ⁡ f → 1 , e → 1                     θ 2 = ang ⁡ f → 2 , e → 2

Bom, já que o terceiro vetor fica inalterado, já podemos preencher a última linha e a última coluna da matriz:

M E F = a b 0 c d 0 0 0 1

Isso acontece porque quando a gente for escrever o sistema das coordenadas de E em função de E , teremos algo assim:

f → 1 = a   e → 1 + c e → 2 + 0   e → 3 f → 2 = b   e → 1 + d   e → 2 + 0   e → 3 f → 3 = 0   e → 1 + 0   e → 2 + 1   e → 3

Em outras palavras: a rotação é em torno do eixo f 3 .

Então nosso trabalho agora é encontrar a , b , c e d pensando nessas condições aqui:

θ 1 = ang ⁡ f → 1 , e → 1                     θ 2 = ang ⁡ f → 2 , e → 2

E, claro, lembrando sempre que as bases são ortonormais.

Passo 2

A primeira pergunta é a seguinte: se esses dois ângulos θ 1 e θ 2 forem iguais, isso quer dizer que E e F são concordantes?

Bom, a gente sabe que a matriz M E F é usada da seguinte forma:

E = M E F F

Ou seja, a matriz roda o sistema F para obter E .

Vamos procurar um contra-exemplo, em que a matriz obedece θ 1 = θ 2 = θ , mas as bases são discordantes.

Uma forma de fazer isso é escrevendo o sistema F de forma que f → 1 , f → 2 , f → 3 não obedeçam a regra da mão direita! Dá uma olhada nesse desenho:

Estamos obedecendo todas as condições, pois:

f → 3 = e → 3                     θ 1 = θ 2 = π 2            

Mas agora aquele nosso sistema é:

f → 1 = 0   e → 1 + 1 e → 2 + 0   e → 3 f → 2 = 1   e → 1 + 0   e → 2 + 0   e → 3 f → 3 = 0   e → 1 + 0   e → 2 + 1   e → 3

E então a matriz é:

M E F = 0 1 0 1 0 0 0 0 1

E o determinante é:

0 1 0 1 0 0 0 0 1 = - 1

E então as bases são discordantes.

Passo 3

(b) Vamos voltar na forma geral da nossa matriz:

M E F = a b 0 c d 0 0 0 1

Agora queremos mostrar que se as bases são discordantes, então a matriz tem que ter essa forma:

M E F = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ   - cos ⁡ θ 0 0 0 1

Vamos começar lembrando de uma propriedade das matrizes de transformação entre bases ortonormais:

M t = M - 1

A matriz transposta é:

a b 0 c d 0 0 0 1 t = a c 0 b d 0 0 0 1

E calculando a matriz inversa pelo método dos cofatores:

a b 0 c d 0 0 0 1 - 1 = 1 det ⁡ M E F d - b 0 - c a 0 0 0 1

E se essas duas matrizes são iguais:

1 det ⁡ M E F d - b 0 - c a 0 0 0 1 = a c 0 b d 0 0 0 1

Mas se as matrizes são discordantes e as bases ortonotmais, então det ⁡ M E F = - 1 :

1 - 1 d - b 0 - c a 0 0 0 1 = a c 0 b d 0 0 0 1

- d b 0 c - a 0 0 0 - 1 = a c 0 b d 0 0 0 1

E daí tiramos um sistema:

a = - d c = b

Passo 4

Vamos substituir isso na nossa matriz:

M E F = a b 0 b - a 0 0 0 1

Escrevendo isso de volta no nosso sistema:

f → 1 = a   e → 1 + b e → 2 + 0   e → 3 f → 2 = b   e → 1 - a   e → 2 + 0   e → 3 f → 3 = 0   e → 1 + 0   e → 2 + 1   e → 3

E sabendo que:

f → 1 = f → 2 = 1

a 2 + b 2 = 1

Podemos então definir um θ de forma que:

a = cos ⁡ θ

b = sen ⁡ θ

E então nossa matriz é:

M E F = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 0 0 1

Exatamente como o enunciado sugeriu!

Passo 5

(c) E no último item queremos mostrar que se:

θ 1 = θ 2 ≠ π 2

Então E e F são concordantes.

Bom, vamos supor que as bases sejam discordantes, e ver o que acontece. Se esse fosse o caso, pelo que a gente viu no item (b), a matriz seria:

M E F = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 0 0 1

E então:

f → 1 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , 0

f → 2 = sen ⁡ θ , - cos ⁡ θ , 0

Mas pela condição do enunciado:

θ 1 = ang ⁡ f → 1 , e → 1           ⇒         cos ⁡ θ 1 = f → 1 ∙ e → 1 = cos ⁡ θ

θ 2 = ang ⁡ f → 2 , e → 2         ⇒         cos ⁡ θ 2 = f → 2 ∙ e → 2 = - cos ⁡ θ

E então, como esses dois ângulos são iguais:

ang ⁡ f → 1 , e → 1 = ang ⁡ f → 2 , e → 2

cos ⁡ θ = - cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0

E fazendo 0 ≤ θ ≤ π , a única solução é:

θ = π / 2

Ou seja, se os dois ângulos são iguais então a base só será discordante quando eles forem iguais a π / 2 .

Resposta

(a) Não. Veja a demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Demonstração.

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