Enunciado

Sejam H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 e u → = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , com θ em [ 0 , π [ . Dê condições sobre θ para que

(a) exista uma reta tangente a H , paralela a u → ;

(b) exista uma reta normal a H paralela a u → .

Interprete geomericamente os resultados.

Passo 1

Vamos começar lembrando de algumas propriedades da parábola. A equação reduzida é essa aqui:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Onde a e b são números positivos.

Quando deixamos todos os parâmetros iguais a 1 , o gráfico dela é mais ou menos assim:

E as assíntoas da parábola são essas duas retas pontilhadas:

As equações delas são:

y = ± b a x

Outra forma de escrever isso é:

y = b a x

Beleza, são essas equações que dão a chave para resolver a questão!

Passo 2

(a) Nesse item a gente quer a condição para que exista alguma reta paralela a u → que seja tangente à parábola.

Vamos desenhar algumas dessas retas para entender o que isso quer dizer. Olhando só para o primeiro quadrante para facilitar:

Percebe que essa reta verde é um pouco mais inclinada do que a assíntota?

Para encontrar uma reta tangente à hipérbole, é só pegar a assíntota, inclinar mais um pouco e deslocar a reta até tocar na hipérbole.

Isso quer dizer que, para que uma reta possa ser tangente a H , ela precisa ser mais inclinada do que a assíntota.

Mas nós vimos que a assíntota é:

y = ± b a x

Como queremos uma inclinação maior, a condição no primeiro e quarto quadrantes é:

α > b a

Onde α é a inclinação da nossa reta.

Essa inequação define essa região aqui:

E nos quadrantes onde o sinal é trocado a condição é:

α < - b a

Que define essa região aqui:

Uma forma de escrever essas duas equações de forma compacta é dizer que:

α > b a

Porque quando α > 0 (nos quadrantes I e III), isso vira:

α > b a

E quando α < 0 (nos quadrantes II e IV), isso vira:

α < - b a

Que é exatamente o que queremos!

Passo 3

Agora falta expressar a inclinação da nossa reta em termos do vetor u → , que é o vetor diretor da nossa reta:

u → = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

A inclinação desse vetor é sempre a mesma:

u → = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Então a nossa condição para o item (a) é:

sen ⁡ θ cos ⁡ θ > b a

Então:

a sen ⁡ θ > b   cos ⁡ θ

Passo 4

(b) Agora que já conhecemos a condição para que uma reta seja tangente à curva:

sen ⁡ θ cos ⁡ θ > b a

Fica mais fácil descobrir qual é a condição para que a reta seja normal a ela!

Para que uma reta seja normal à curva em um ponto, ela tem que ser normal à tangente da curva naquele ponto!

Se uma reta tangente tem esse coeficiente angular aqui:

α = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Podemos achar o coeficiente angular da reta normal lembrando dessa relação aqui:

α ⊥ = - 1 α

Substituindo isso na relação de antes:

α > b a         ⇒         α ⊥ > - a b

Usando as propriedades do módulo, podemos reescrever isso como:

α ⊥ < a b

Então:

sen ⁡ θ cos ⁡ θ < a b

E a condição é>

b   sen ⁡ θ < a   cos ⁡ θ

Geometrciamente, isso quer dizer que as retas precisam estar abaixo da reta de inclinação a / b :

Resposta

(a) a sen ⁡ θ > b   cos ⁡ θ .

(b) b   sen ⁡ θ < a   cos ⁡ θ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Centro C ( - 2,1 ) , eixo real paralelo a O x e passando por ( 0,2 ) e ( -
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 25 x 2 - 44 y 2 +
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 4 x 2 - y 2 - 32 x
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 9 x 2 - 4 y 2 - 54
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 16 x 2 - 9 y 2 - 6