Enunciado

Sejam P = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) e Q = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Determine um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 9 , nos casos:

c) A = - 1 ,   1 ,   2 ,   B = ( - 5 ,   - 3 ,   4 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta P Q ta bom?

Essa reta passa por P e por Q e tem vetor diretor P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Então, a equação vetorial da reta P Q vai ser:

P Q :   X = P + λ P Q →

P Q :   X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Olha, a gente escolheu P pra ser o ponto da equação, mas você poderia colocar Q também ta bom?

Passo 2

Agora a gente vai pegar um ponto C genérico da reta P Q , a partir da equação dela (lembra que se você tiver colocado o ponto Q como o ponto na equação, esse ponto genérico vai ser diferente, mas o resultado final é igual fechou?)

C = 2 - 2 λ ,   1 - 2 λ ,   - 1 + λ

Belezinha, agora a partir desse ponto genérico a gente vai fazer nossos cálculos da área do triângulo :D

Passo 3

Queremos que a área do triângulo seja 9 né? A gente sabe que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial entre A B → e A C → , então vamos encontrar esses vetores:

A B → = B - A = - 4 ,   - 4 ,   2

A C → = C - A = ( 3 - 2 λ ,   - 2 λ ,   - 3 + λ )

Fazendo o produto vetorial A B → ∧ A C → :

A B → ∧ A C → = i ^ j ^ k ^ - 4 - 4 2 3 - 2 λ - 2 λ - 3 + λ = 12 i ^ - 6 j ^ + 12 k ^

Opa, de novo o produto vetorial sumiu com nosso λ :/ mas de qualquer forma vamos fazer as contas pra ver se a área do triângulo vai dar 9:

A B → ∧ A C → = 12 2 + - 6 2 + 12 ² = 324 = 18

Passo 4

Calculando a área do triângulo

A = 18 2

A = 9

Eitaaa! Mesmo a gente não achando um valor específico de λ pra área ser 9, a área acabou sendo 9 de qualquer jeito hahaha

Isso quer dizer que pra qualquer ponto C da reta P Q , a área do triângulo A B C vai ser 9 :P

Aí na figura termos exemplos de triângulos formados com A ,   B e pontos quaisquer da reta P Q , eles sempre vão ter área 9 por pura geometria :D

Resposta

c) Para todo ponto de P Q , as condições são satisfeitas :D

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