Enunciado

Sejam P = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) e Q = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Determine um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 9 , nos casos:

a) A = 0 ,   3 ,   0 ,   B = ( 6 ,   3 ,   3 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta P Q ta bom?

Essa reta passa por P e por Q e tem vetor diretor P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Então, a equação vetorial da reta P Q vai ser:

P Q :   X = P + λ P Q →

P Q :   X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Olha, a gente escolheu P pra ser o ponto da equação, mas você poderia colocar Q também ta bom?

Passo 2

Agora a gente vai pegar um ponto C genérico da reta P Q , a partir da equação dela (lembra que se você tiver colocado o ponto Q como o ponto na equação, esse ponto genérico vai ser diferente, mas o resultado final é igual fechou?)

C = 2 - 2 λ ,   1 - 2 λ ,   - 1 + λ

Belezinha, agora a partir desse ponto genérico a gente vai fazer nossos cálculos da área do triângulo :D

Passo 3

Queremos que a área do triângulo seja 9 né? A gente sabe que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial entre A B → e A C → , então vamos encontrar esses vetores:

A B → = B - A = 6 ,   0 ,   3

A C → = C - A = ( 2 - 2 λ ,   - 2 - 2 λ ,   - 1 + λ )

Fazendo o produto vetorial A B → ∧ A C → :

A B → ∧ A C → = i ^ j ^ k ^ 6 0 3 2 - 2 λ - 2 - 2 λ - 1 + λ = 6 λ + 6 i ^ + - 12 λ + 12 j ^ + ( - 12 λ - 12 ) k ^

Agora vamos encontrar o módulo desse produto vetorial:

A B → ∧ A C → = 6 λ + 6 2 + - 12 λ + 12 2 + - 12 λ - 12 2

Abrindo os quadrados:

A B → ∧ A C → = 36 λ 2 + 72 λ + 36 + 144 - 288 λ + 144 λ 2 + 144 λ 2 + 288 λ + 144

A B → ∧ A C → = 324 λ 2 + 7 2 λ + 324

Passo 4

Agora, por último, queremos que A B → ∧ A C → 2 = 9 :

324 λ 2 + 72 λ + 324 2 = 9

324 λ 2 + 72 λ + 324 = 18

Elevando os dois lados ao quadrado:

324 λ 2 + 72 λ + 324 = 324

324 λ 2 + 72 λ = 0

Dividindo tudo por 36:

9 λ 2 + 2 λ = 0

Resolvendo essa equação do 2° grau, encontramos

λ ' = 0

λ ' ' = - 2 9

Então, os pontos C que formam um triângulo de área 9 com A e B são:

C ' = 2 ,   1 ,   - 1

C ' ' = 22 9 , 1 3 9 ,   - 11 9

Então, na figura abaixo, tanto o triângulo verde como o azul têm área 9 :)

Resposta

a) C ' = 2 ,   1 ,   - 1

C ' ' = 22 9 , 13 9 ,   - 11 9

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Sejam A = 1 ,1 ,1 e r : X = 1 ,1 ,4 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) . Obtenha os pontos de r que distam 11 de A . Em seguida verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 11 e justifique su
Sejam A = 1 ,1 ,1 ,B = ( 0 ,0 ,1 ) e r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( 1 ,1 ,1 ) . Determine os pontos de r equidistantes de A e B .