Enunciado

  1. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto 2,4 , 6 e é perpendicular ao plano x - y + 3 z = 7 .
  2. Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?

Passo 1

  1. Vamos chamar r 0 nosso ponto ( 2,4 , 6 ) na reta. E v = < a , b , c >   é o vetor paralelo a reta. Uma vez que a nossa reta é perpendicular ao plano, ele é paralelo ao vetor normal do plano (uma vez que o vetor normal também é perpendicular ao plano). Assim podemos pegar o vetor normal do plano para ser o vetor da nossa reta, v = < 1 , - 1,3 > .
  2. Lembrando que a forma paramétrica das equações de uma reta é:

    x = x 0 + a t

    y = y 0 + b t

    z = z 0 + c t

    Como r 0 = < x 0 , y 0 , z 0 >   =   < 2,4 , 6 > , substituindo os valores nessas fórmulas, ficamos com:

    x = 2 + t

    y = 4 - t

    z = 6 + 3 t

    Passo 2

  3. Para descobrir em que pontos nossa reta corta os planos coordenados, basta pegarmos as equações paramétricas do item (a), igualar cada coordenada a zero e substituir o valor de t nas outras equações. Assim:

Vamos começar encontrando a intersecção com o plano x y , para isso fazemos z = 0 :

z = 0 = 6 + 3 t

t = - 2

Agora achamos as outras duas coordenadas:

x - 2 = 2 + - 2 = 0

y - 2 = 4 - - 2 = 6

Então o ponto de intersecção da reta com o plano x y é o 0,6 , 0 .

Agora fazendo x = 0 encontramos a intersecção com o plano y z :

x = 0 = 2 + t

t = - 2

Como já vimos, t = - 2 nos dá o ponto ( 0,6 , 0 ) , então essa é a intersecção com o plano y z também.

Por último, vamos fazer y = 0 :

y = 0 = 4 - t

t = 4

x 4 = 2 + 4 = 6

z 4 = 6 + 3 4 = 18

Assim, a intersecção da reta com o plano x z é o ponto 6,0 , 18 .

Resposta

  1. x = 2 + t ;   y = 4 - t ;   z = 6 + 3 t
  2. ( 0,6 , 0 ) com os planos x y e y z ; ( 6,0 , 18 ) com o plano x z .
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