Enunciado

Usando coordenadas polares r ,   θ no plano ( x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ) e a definição de cônica dada por 11.7.4, parte 3, você pode deduzir de modo simples as equações polares das cônicas, tomando o pólo no foco e o eixo polar e o eixo polar e sua extensão ao longo do eixo principal.

a) Mostre que nestas condições a equação polar das cônicas é dada por

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ

(O sinal + ou é dado conforme a diretriz correspondente ao foco no pólo esteja à esquerda ou à direita deste.)

b) Dê exemplos de elipses, parábolas e hipérboles com suas formas polares.

c) Um cometa está se movendo em uma órbita parabólica em torno do Sol no foco F da parábola. Faz-se uma observação do cometa quando ele está no ponto P 1 a 15 milhões de quilômetros do Sol; uma segunda observação é feita quando ele está no ponto P 2 a 5 milhões de quilômetros do Sol.

O segmentos de reta F P 1 e F P 2 são perpendiculares. Com estas informações há duas órbitas possíveis para o cometa. Encontre a distância mais próxima que o cometa passa do Sol, em cada órbita.

d) A órbita do planeta Mercúrio em torno do Sol é elíptica, com o Sol em um dos focos, tendo o semi-eixo maior 36 milhões de quilômetros e excentricidade 0,206 . Encontre: (a) qual é a distância mais próxima que Mercúrio passa do Sol e (b) a maior distância possível entre Mercúrio e o Sol.

Passo 1

Vamos considerar primeiro a situação em que a reta diretriz está à direita do foco:

A condição que os ponto P devem satisfazer para estar na cônica é

P F P d = e

Nessa expressão, P F = r é a distância entre os pontos P e F ; P d = d - r cos ⁡ θ é a distância do ponto P à reta diretriz e e é a excentricidade. Essa é a definição dada pela 11.7.4, parte 3:

d F ,   P = e   d F ,   l

Com isso, podemos escrever

r d - r cos ⁡ θ = e

Logo,

r = e d - e r cos ⁡ θ ⇒ r 1 + e cos ⁡ θ = e d

Portanto,

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

Caso a diretriz esteja à esquerda do foco, a única diferença é

P d = d + r cos ⁡ θ ⇒ r = e d 1 - e cos ⁡ θ

Com isso nós provamos o que foi pedido no item (a).

Passo 2

Agora temos que dar alguns exemplos de cônicas em coordenadas polares. Por simplicidade vou escolher casos com d = 1 .

Para e < 1 , temos uma elipse. Já para e = 1 obtemos uma párabol e para e > 1 obtemos uma hipérbole. A seguir temos as curvas para d = 1 e e = 1 2 ,   1 ,   2 quando a reta diretriz está à esquerda do foco:

Colocando a diretriz à direita, temos

Passo 3

Vamos agora ao item (c). Por uma questão de simplicidade, vamos olhar primeiro para o caso em que a diretriz está a direita do foco (Sol). Além disso, como se trata de uma parábola, temos e = 1 :

r = d 1 + cos ⁡ θ

Com isso, a órbita é desse tipo:

O enunciado disse que F P 1 era perpendicular a F P 2 . Com isso já conseguimos achar os pontos P 1 e P 2 . Em coordenadas cartesianas:

P 1 = 0 ,   15             e           P 2 = 5 ,   0

A escala do gráfico é em milhões de quilômetros. A distância mais próxima que o cometa fica do Sol é

F P 2 = 5

Portanto, essa distância é de 5 milhões de quilômetros. No caso em que a reta diretriz está à esquerda do foco, o resultado será o mesmo.

Passo 4

Por fim temos o item (d). Aqui a órbita é elíptica com e = 0,206 < 1 . Vamos considerar a reta diretriz à direita do foco:

r = 0,206 d 1 + 0,206 cos ⁡ θ

A seguir temos um esboço da situação:

Queremos saber as distâncias dos pontos A e P para o foco (Sol). O ponto P corresponde a θ = 0 , assim cos ⁡ θ = 1 :

r P = 0,206 d 1 + 0,206 = 0,171 d

Já para o ponto A , temos θ = π com cos ⁡ θ = - 1 :

r A = 0,206 d 1 - 0,206 = 0,259 d

Foi dado que o tamanho do semi-eixo maior é 36 milhões de quilômetros, de modo que a distância real entre os pontos A e P é duas vezes isso: 72 milhoes de quilômetros. Com isso,

r A + r P = 72

0,171 d + 0,259 d = 72

d = 167,4

Portanto,

r A = 43,4

r P = 28,6

Com isso, a menor distância de Mercúrio ao sol é 28,6 milhoes de quilômetros e a maior é 43,4 milhões de quilômetros.

Resposta

c         5   m i l h õ e s   d e   q u i l ô m e t r o s

d       28,6   e   43,4   m i l h õ e s   d e   q u i l ô m e t r o s

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