Enunciado

Seja

A = x y z t - y x - t z - z t x - y - t - z y x

Uma matriz de ordem 4, com x , y , z , t ∈ R . Calcular det ⁡ A e provar que A é inversível, se ao menos um dos 4 números x , y , z e t não for nulo.

Passo 1

Bom, vamos começar a questão do final para o início. Para provarmos que a matriz A é inversível, o seu determinante deve ser diferente de zero.

Portanto, temos que mostrar que, para que det ⁡ A ≠ 0 , pelo menos um dos números x , y , z e t devem ser diferentes de zero.

Mas como faremos isto? Bom, para isto, teremos que obter o determinante da matriz.

Entenderam o motivo de partirmos do final para o início? Já entendemos agora o quão essencial é saber o determinante de A .

Passo 2

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A . Para isto, vamos utilizar o método dos cofatores para reduzir a ordem da nossa matriz, e assim conseguir uma matriz de ordem 3 que temos uma relação para calcular o determinante da sua matriz.

Portanto, se aplicarmos o método dos cofatores, temos:

det ⁡ X = ∑ i = 1 4 a i 1 A i 1 = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 + a 41 A 41

det ⁡ X = x - 1 1 + 1 det ⁡ x - t z t x - y - z y x + - y - 1 2 + 1 det ⁡ y z t t x - y - z y x + - z - 1 3 + 1 det ⁡ y z t x - t z - z y x + - t - 1 4 + 1 det ⁡ y z t x - t z t x - y

det ⁡ X = x det ⁡ x - t z t x - y - z y x + y det ⁡ y z t t x - y - z y x - z det ⁡ y z t x - t z - z y x + t det ⁡ y z t x - t z t x - y

Agora, temos que calcular o determinante de cada uma dessas 4 matrizes 3x3. Pode até parecer que o problema ficou maior.

Entretanto, com este procedimento, nós dividimos para conquistar! Tudo ficou maior, mas as contas ficaram mais fáceis!

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante de cada uma das 4 matrizes. Portanto,

det ⁡ x - t z t x - y - z y x = x 3 - t y z + z t y + z 2 x + y 2 x + t 2 x = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 x

det ⁡ y z t t x - y - z y x = y x 2 + y z 2 + y t 2 + t x z + y 3 - t x z = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 y

det ⁡ y z t x - t z - z y x = - t x y - z 3 + t x y - z t 2 - y 2 z - x 2 z = - x 2 + y 2 + z 2 + t 2 z

det ⁡ y z t x - t z t x - y = y 2 t + z 2 t + x 2 t + t 3 - x z y + x z y = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 t

Passo 4

Agora que calculamos os 4 determinantes, vamos substituir as relações que obtivemos no determinante, vamos substituir na nossa equação do determinante.

Desta forma, temos:

det ⁡ X = x x 2 + y 2 + z 2 + t 2 x + y x 2 + y 2 + z 2 + t 2 y + z x 2 + y 2 + z 2 + t 2 z + t x 2 + y 2 + z 2 + t 2 t

det ⁡ X = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 x 2 + y 2 + z 2 + t 2

det ⁡ X = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 2

E esta é a nossa fórmula para o determinante da matriz X .

Para que ela seja diferente de 0, pelo menos um dos termos x , y , z , t devem ser diferentes de 0. Assim, provamos aquilo que a questão nos pediu!

Resposta

det ⁡ X = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 2

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