Enunciado

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que (A + B)^T = A^T + B^T

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que (A + B)^T = A^T + B^T . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]))^T

E o segundo:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])^T

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]))^T

(([[2,+,8,-,1,+,(- 3),3,+,(- 5)],[0,+,0,4,+,1,5,+,2],[-,2,+,4,1,+,(- 7),4,+,6]]))^T

([[10,-,4,-,2],[0,5,7],[2,-,6,10]])^T

([[10,0,2],[-,4,5,-,6],[-,2,7,10]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])^T

([[2,0,-,2],[-,1,4,1],[3,5,5]]) + ([[8,0,4],[-,3,1,-,7],[-,5,2,6]])

([[2,+,8,0,+,0,-,2,+,4],[-,1,+,(,-,3,),4,+,1,1,+,(,-,7,)],[3,+,(,-,5,),5,+,2,5,+,6]])

([[10,0,2],[-,4,5,-,6],[-,2,7,10]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que (A + B)^T = A^T + B^T

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