Enunciado

(b) Sejam OABC um tetraedro e X o baricentro do triângulo ABC. Exprima O X → em função de O A → , O B → e O C → .

Passo 1

Bora lá!

Primeiro, vamos fazer um esboço do nosso tetraedro

Onde:

- W é o ponto médio do segmento AB;

- Y é o ponto médio do segmento BC e

- Z é o ponto médio do segmento AC.

Passo 2

Solução 1

O modo mais rápido de resolução é aplicando o teorema que diz que a soma dos vetores que representam as medianas de um triângulo é NULA! As faces de um tetraedro são triângulos equiláteros e num triângulo equilátero, as medianas têm o mesmo comprimento.

O X → = O A → + A X →

O X → = O B → + B X →

O X → = O C → + C X →

Somando as equações:

3 O X → = O A → + O B → + O C → + A X → + B X → + C X → → O X → = 1 3 O A → + O B → + O C →

Putz... mas eu nunca nem ouvi falar desse teorema ☹. Relaxa, vamos fazer de um outro jeito.

É um jeito mais demorado e complexo, mas é mais raiz. Vamos lá!

Passo 3

Solução 2

Do nosso tetraedo, temos

A W → = 1 2 A B →

B Y → = 1 2 B C →

C Z → = 1 2 C A →

Como O X → = O A → + A X → e A X → = λ A Y → , interessa saber qual o valor de λ . Usando a propriedade do vetor somado ao ponto, as relações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma

A X → = λ A Y →

X = A + λ A Y →

Mas X = B + μ B Z → , logo

A + λ A Y → = B + μ B Z → → A + λ A Y → = A + A B → + μ B Z → → λ A Y → = A C → + C B → + μ B Z →

Passo 4

Reescrevendo A X → em termos de C A → e C B → , temos

λ A Y → = A C → + C B → + μ B Z → =

= λ - C A → + 1 2 C B → = - C A → + C B → + μ - C B → + C Z → =

= λ - C A → + 1 2 C B → = - C A → + C B → + μ - C B → + 1 2 C A → =

= - λ C A → + λ 2 C B → = μ 2 - 1 C A → + 1 - μ C B →

Passo 5

Resolvendo o sisteminha, chegamos em λ = μ = 2 3 . Então

O X → = O A → + A X →

O X → = O A → + λ A Y →

O X → = O A → + A C → + C B → + μ B Z →

O X → = O A → + A O → + O C → + C O → + O B → + 2 3 B C → + C Z →

O X → = O A → + - O A → - C O → + C O → + O B → + 2 3 B O → + O C → + 1 2 C A →

O X → = O B → - 2 3 O B → + 2 3 O C → + 1 3 C O → + O A →

O X → = O B → - 2 3 O B → + 2 3 O C → - 1 3 O C → + 1 3 O A →

O X → = 1 3 ( O B → + O C → + O A → )

Resposta

O X → = 1 3 O A → + O B → + O C →

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