Enunciado

Sejam A = 0 ,   2 ,   1 e r : X = 0 ,   2 ,   - 2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 ) . Obtenha os pontos de r que distam 3 de A . Em seguida verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 3 e justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro vamos escrever um ponto genérico P de r a partir da sua equação:

P = λ ,   2 - λ ,   - 2 + 2 λ

Para que o ponto P de r diste 3 de A , vamos usar a fórmula da distância entre pontos e igualar a 3 , ó:

d A ,   P = λ - 0 2 + 2 - λ - 2 2 + - 2 + 2 λ - 1 2 = 3

λ 2 + λ 2 + 2 λ - 3 2 = 3

2 λ 2 + 2 λ - 3 2 = 3

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 λ 2 + 2 λ - 3 2 = 3

Bora abrir esse produto notável aí hahaha

2 λ 2 + 4 λ 2 - 12 λ + 9 = 3

6 λ 2 - 12 λ + 6 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos apenas uma raíz: λ = 1 . Isso quer dizer que só existe um P que tem a distância 3 até A sacou?

P = λ ,   2 - λ ,   - 2 + 2 λ

P = 1 ,   1 ,   0

Passo 2

Cara, a distância entre o ponto A e a reta r é exatamente 3 e pra vermos isso não precisamos nem fazer conta porque olha só: só encontramos um ponto P de r cuja distância dele até A é 3 . Isso quer dizer que essa distância foi medida perpendicularmente à reta A , se encontrássemos dois pontos, cada um estaria pra um lado de A . Se essa distância foi medida perpendicularmente, ela foi medida igualzinho a gente mede a distância de um ponto até uma reta, entãoo, a distância que estávamos usando é a mesma distância entre eles.

Olha uma imagem pra entender melhor:

Se encontrássemos dois pontos diferentes para P (representados por A e B na imagem) não teríamos segmentos perpendiculares e com certeza o exercício teria pedido pontos que distem um valor diferente de 3 , mas só encontramos um, que é exatamente a projeção do ponto A na reta r .

Resposta

P = 1 ,   1 ,   0

Igual a 3

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Determine a projeção ortogonal do ponto P= ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta x 3= y + 7 5 = z - 2 2 .
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Determine a distância do ponto P=( 6 , - 4,4 ) à reta determinada pelos pontos A=( 2,1 , 2 ) e B=( 3 , - 1,4 ) .