Enunciado

Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A = 1 ,   4 ,   0 ,   B = 2 ,   1 ,   - 1 e C = ( 1 ,   2 ,   2 ) . Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B .

Passo 1

Para que esses pontos sejam vértices de um triângulo, eles não devem ser colineares, ou seja, A B → não pode ser paralelo a B C → , por exemplo.

Temos:

A B → = B - A = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 )

B C → = C - B = ( - 1 ,   1 ,   3 )

Podemos notar que A B → e B C → não são paralelos, pois um não é múltiplo do outro certo?

Então, os 3 pontos não são colineares e aí formam um triângulo ;)

Passo 2

A reta r que contém a altura do triângulo relativa ao vértice B deve ser perpendicular à reta que contém o segmento A C , ou seja, o vetor diretor de r deve ser perpendicular a A C → .

Primeiro vamos encontrar a reta s que contém A C :

Sabendo que A C → = C - A :

A C → = ( 0 ,   - 2 ,   2 )

s : X = 1 ,   4 ,   0 + λ ( 0 ,   - 2 ,   2 )

Passo 3

Seja P o ponto de intersecção da reta r com a reta s . O vetor diretor de r será P B → .

Como P também pertence à reta s , que já temos a equação, ele pode ser escrito como:

P = 1 ,   4 - 2 λ ,   2 λ

Então P B → será:

P B → = 2 ,   1 ,   - 1 - ( 1 ,   4 - 2 λ ,   2 λ )

P B → = 1 ,   - 3 + 2 λ ,   - 1 - 2 λ

Passo 4

Sabemos que P B → deve ser perpendicular a A C → , então:

P B → . A C → = 0

1 ,   - 3 + 2 λ ,   - 1 - 2 λ . 0 ,   - 2 ,   2 = 0

0 ( - 2 ) . - 3 + 2 λ + 2 . - 1 - 2 λ = 0

6 - 4 λ - 2 - 4 λ = 0

8 λ = 4

λ = 4 8 = 1 2

Opaa, descobrimos que pra P B → ser perpendicular a A C → (e portanto, representar a altura do triângulo relativa ao vértice B ), o valor de λ deve ser 1 2 :P

P B → = 1 ,   - 3 + 2 λ ,   - 1 - 2 λ

P B → = 1 ,   - 2 ,   - 2

Passo 5

Então, a equação da reta r , sabendo que ela passa pelo ponto B e que seu vetor diretor é P B → , vai ser:

r : X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   - 2 ,   - 2 )

Nessa figura abaixo a reta preta é r e a vermelha é s :)

Resposta

r : X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   - 2 ,   - 2 )

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Estude a posição relativa das retas r e s c) r : x + 1 2 = y 3 = z + 1 2s :X = 0 ,0 ,0 + λ ( 1 ,2 ,0 )
Estude a posição relativa das retas r e s f) r : x - 1 3 = y - 5 3 = z + 2 5s :x = - y = z - 1 4
Estude a posição relativa das retas r e s h) r : x + 3 = 2 y - 4 4 = z - 1 3 s :X = 0 ,2 ,2 + λ ( 1 ,1 ,- 1 )
Estude a posição relativa das retas r e s a) r : X = 1 ,- 1 ,1 + λ - 2 ,1 ,- 1s :y + z = 3 x + y - z = 6
Estude a posição relativa das retas r e s d) r : x + 3 2 = y - 1 4 = zs :2 x - y + 7 = 0 x + y - 6 z = - 2