Enunciado

Sejam A , B e C pontos quaisquer, A ≠ B . Prove que:

  1. X pertence à reta A B se, e somente se, existem α e β tais que C X → = α C A → + β C B → e α + β = 1 ;
  2. X pertence ao segmento A B se, e somente se, existem α e β tais que C X → = α C A → + β C B → , α ≥ 0 , β ≥ 0 e α + β ≥ 1 ;
  3. X é interior ao segmento A B (isto é, existe λ tal que 0 < λ < 1 e A X → = λ A B → ) se, e somente se, X A → e X B → são de sentido contrário.

Passo 1

Bom, vamos começar provando a letra a).

Se o ponto X pertencer a reta A B , automaticamente, temos que os vetores A X → e A B → são paralelos. Mostramos isto matematicamente através da seguinte relação:

A X → = λ A B →

Ambos os vetores são proporcionais. A dica agora é tentar escrever o vetor C X → utilizando, ou pelo menos tentando utilizar os vetores A X → , C A → e C B → , pois o que a questão pede para obtermos é a relação C X → . Portanto, vejamos uma possibilidade a seguir:

C X → = C A → + A X →

Assumindo que X ∈ A B , temos:

C X → = C A → + λ A B →

Mas quem é o vetor A B → ? É possível escrever como uma soma dos vetores C A → e C B → ?

A resposta para esta pergunta é sim! Vejamos só:

A B → = A C → + C B →

A B → = - C A → + C B →

Substituindo na relação, temos:

C X → = C A → + λ - C A → + C B →

C X → = 1 - λ C A → + λ C B →

Se chamarmos α = 1 - λ e β = λ , temos:

C X → = α C A → + β C B →

E também α + β = 1 - λ + λ = 1 . Então, o ponto X pertence a reta se existir λ   ∈ R tal que A X → = λ A B → , ou C X → = α C A → + β C B → e α + β = 1

Assim, provamos a primeira relação.

Passo 2

Agora, vamos verificar as condições entre α e β para que o ponto X pertence ao segmento A B . Novamente, reparem a expressão do vetor A X → :

A X → = λ A B →

Para que X pertence ao segmento A B , o vetor A X → deve ter mesmo sentido de A B → λ ≥ 0 e norma menor do que A B → λ ≤ 1 . Portanto, temos a seguinte relação:

0 ≤ λ ≤ 1

Substituindo λ = 1 - α e λ = β , teremos:

0 ≤ 1 - α ≤ 1 ⟹ 1 ≥ α ≥ 0

0 ≤ β ≤ 1

Portanto, acabamos de provar que X será interior se, e somente se, α ≥ 0 e β ≥ 0

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal entre X A → e X B → . Continuaremos utilizando as relações que desenvolvemos durante toda a questão.

Precisamos fazer aparecer algo que relacione estes dois vetores. Uma possível forma é:

X B → = X A → + A B →

Mas sabemos que A B → = 1 λ A X → . Substituindo, temos:

X B → = X A → + 1 λ A X →

X B → = X A → - 1 λ X A →

X B → = 1 - 1 λ X A →

X B → = λ - 1 λ X A →

X A → = λ λ - 1 X B →

Chegamos a uma relação entre os vetores X A → e X B → . Também sabemos que 0 ≤ λ ≤ 1 .

Por causa dos valores de λ , percebam que λ / ( λ - 1 ) possui sinal negativo.

Desta forma, verificamos que os vetores X A → e X B → possuem sentido contrário!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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