Enunciado

Sejam A ,   B e C pontos quaisquer com A ≠ B . Prove que:

a) Um ponto X pertence a reta determinada por A e B ( A X → = λ A B → ) se, e somente se, C X → = α C A → + β C B →

com α + β = 1 .

Passo 1

Oiii, tudo bem? Bora para mais uma?

Para resolver esta questão vamos lembrar algumas coisinhas! Primeiro, se temos que o ponto X está sobre a reta que passa por A   e   B , que formam o vetor A B → , como no seguinte esquema:

Note que o vetor A X → = X - A , e como ambos os vetores são colineares devem obedecer a uma relação do tipo:

A X → = λ A B → → X - A = λ A B →

Um ponto X , obedece a seguinte relação:

X = λ A B → + A

Beleza, mas o que faço com isso? Saca só!

Passo 2

Podemos escrever o vetor C X → = X - C , então;

C X → = λ A B → + A - C

O que podemos expandir da seguinte maneira:

C X → = λ B - A + A - C = λ B - A + C A →

Vamos precisar utilizar de um truquezinho aqui! Bora lá!

Passo 3

Se somarmos e subtrairmos nos parênteses o ponto C, temos:

C X → = λ C - C + B - A + C A →

Podemos reorganizar as coisas um pouquinho:

C X → = λ B - C - A - C - C A → → C X → = λ C B → - C A → + C A →

Colocando o vetor C A → em evidência, temos:

C X → = C A → 1 - λ + λ C B →

Portanto, temos finalmente que se α = 1 - λ e β = λ , temos:

α + β = 1 - λ + λ = 1

Como queríamos demonstrar, vamos para a próxima alternativa agora!

Resposta

Ao longo dos passos!

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