Enunciado

Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

c) 1 2 3 0 1 0 2 1 2

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   1 - x 2 3 0 1 - x 0 2 1 2 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 1 - x 2 3 0 1 - x 0 2 1 2 - x

det = − x 3 + 4 x 2 + x - 4

Igualando a zero e resolvendo:

x 3 + 4 x 2 + x - 4 = 0

-(x-4)(x+1)(x-1)

x = -1

x = 1

x = 4

Passo 2

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

2 2 3 0 2 0 2 1 3

Escalonando:

1 0 3 2 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - 3 a 0 2 a

Assim, temos

a(-3, 0, 2)

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

0 2 3 0 0 0 2 1 1

Escalonando:

1 0 - 1 4 0 1 3 2 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a - 6 a 4 a

Assim, temos

a(1, -6, 4)

Substituindo x = 4 na matriz ( A - x I ):

- 3 2 3 0 - 3 0 2 1 - 2

Escalonando:

1 0 - 1 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 a

Assim, temos

a(1, 0, 1)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, temos que:

P =   - 3 1 1 0 - 6 0 2 4 1 e D =   - 1 0 0 0 1 0 0 0 4

Resposta

P =   - 3 1 1 0 - 6 0 2 4 1

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