Enunciado

Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,   x z   e   y z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.

Passo 1

A Fórmula (8) diz pra gente que seja T A , T B e T C operadores matriciais em R n podemos escrever a composição

T C ∘ T B ∘ T A - 1 = T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1

Ou alternativamente

T C B A - 1 = T A - 1 B - 1 C - 1

Passo 2

E quem são essas transformações né?! Bem, a gente sabe que T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 são reflexões nos planos x y ,   x z   e   y z , respectivamente, então

T A x ,   y ,   z = x ,   y ,   - z

T B x ,   y ,   z = x ,   - y ,   z

T C x ,   y ,   z = ( - x ,   y ,   z )

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T C ∘ T B ∘ T A = T C T B T A x ,   y ,   z ⏝ x ,   y ,   - z ⇒ T C T B x ,   y ,   - z = T C x ,   - y ,   - z = - x ,   - y ,   - z

T C ∘ T B ∘ T A x ,   y ,   z = - x ,   - y ,   - z

E inversa será dada da mesma maneira

T C ∘ T B ∘ T A - 1 x ,   y ,   z = - x ,   - y ,   - z

Passo 3

Então pra verificarmos a igualdade, precisamos encontrar o outro lado da composição, T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1 , como T A , T B e T C são reflexões, a inversa delas, são elas mesmo, já que se refletirmos de novo, vamos voltar no mesmo vetor

T A - 1 x ,   y ,   z = x ,   y ,   - z

T B - 1 x ,   y ,   z = x ,   - y ,   z

T C - 1 x ,   y ,   z = ( - x ,   y ,   z )

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T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1 = T A - 1 T B - 1 T C - 1 x ,   y ,   z = T A - 1 T B - 1 - x ,   y ,   z = T A - 1 - x ,   - y ,   z

T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1 = ( - x ,   - y ,   - z )

Portanto

T C ∘ T B ∘ T A - 1 = - x ,   - y ,   - z = T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1

T C ∘ T B ∘ T A - 1 = T A - 1 ∘ T B - 1 ∘ T C - 1

Resposta

Demonstração.

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