Enunciado

  1. Sejam X 1   e X 2 soluções do sistema homogêneo AX = 0. Mostre que α X 1 + β X 2 é solução, para quaisquer escalares α e β.

Passo 1

Se X 1 e X 2 são soluções do sistema, então, temos que:

A X 1 = 0

E

A X 2 = 0

Passo 2

Multiplicando cada produto pelo respectivo escalar relacionado:

A α X 1 = 0

E

A β X 2 = 0

Reorganizando:

α ( A X 1 ) = 0

β ( A X 2 ) = 0

Como sabemos que A X 1 = 0 e A X 2 = 0 , podemos substituir de forma que:

α ( 0 ) = 0

β ( 0 ) = 0

Que são igualdades verdadeiras para quaisquer escalares α e β.

Passo 3

Como vimos que α X 1 e β X 2 são soluções do sistema, e sabendo que a soma das soluções de um sistema também é uma solução desse sistema, podemos inferir que:

A(α X 1 + β X 2 ) = 0

Para quaisquer escalares α e β.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da resolução.

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Prove que:Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade).
Considere a matriz A = 1 1 11 1 3 - 2 a 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1 - 32 a + 1 . Determine o conjunto solução do sistema AX = B, em que B = 4 3 1 6 t , para todos os valores de a.
Prove que:b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria).
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Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1. b) Seja solução particular do sistema AX = B. Mostre que toda solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = X 0 + Y, em que Y é uma solução do si