Enunciado

9 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U+V. Todo vetor w c W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v. Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:

Passo 1

Vamos tomar um vetor qualquer w :

w = u + v

Onde u ∈ U e v ∈ V . Lembrando que essa é a única forma de escrever o vetor w , com um termo pertencente a U e um termo pertencente a V .

Para calcular P 1 ∘ P 2 de algum vetor qualquer w , precisamos calcular basicamente isso:

P 1 P 2 w

Então vamos, calcular a projeção P 2 w . Sabemos que a projeção 2 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço V , então:

P 2 w = v

Agora precisamos calcular a projeção 1 desse vetor para obter P 1 ∘ P 2 :

P 1 ∘ P 2 = P 1 P 2 w

P 1 ∘ P 2 = P 1 v

A projeção 1 pega os valores do vetor que fazem parte de U , mas v ∉ U , pois v ∈ V , dessa forma:

P 1 ∘ P 2 = 0

Passo 2

Agora vamos calcular P 2 ∘ P 1 . Vamos tomar um vetor qualquer w :

w = u + v

Onde u ∈ U e v ∈ V . Lembrando que essa é a única forma de escrever o vetor w , com um termo pertencente a U e um termo pertencente a V .

Para calcular P 2 ∘ P 1 de algum vetor qualquer w , precisamos calcular basicamente isso:

P 2 P 1 w

Então vamos, calcular a projeção P 2 w . Sabemos que a projeção 1 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço U , então:

P 1 w = u

Agora precisamos calcular a projeção 2 desse vetor para obter P 2 ∘ P 1 :

P 2 ∘ P 1 = P 2 P 1 w

P 2 ∘ P 1 = P 2 u

A projeção 2 pega os valores do vetor que fazem parte de V , mas u ∉ V , pois u ∈ U , dessa forma:

P 2 ∘ P 1 = 0

Com isso concluímos que

P 1 ∘ P 2 = P 2 ∘ P 1 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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