Enunciado

Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,   v 2 = 5,1 , 3   e   v 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .

Passo 1

Bom, pra ser ortogonal, o produto interno tem que ser igual a zero.

Vamos considerar um vetor qualquer ( x , y , z ) .

A gente precisa que:

x , y , z ∙ 1,1 , 2 = 0

x , y , z ∙ 5,1 , 3 = 0

x , y , z ∙ 2 , - 2 , - 3 = 0

Vamos montar isso aí então, lembrando que o produto interno que a gente vai usar é o usual.

Passo 2

x , y , z ∙ 1,1 , 2 = 0

x + y + 2 z = 0  

x , y , z ∙ 5,1 , 3 = 0

5 x + y + 3 z = 0

x , y , z ∙ 2 , - 2 , - 3 = 0

2 x - 2 y - 3 z - 0

Temos então:

x + y + 2 z = 0 5 x + y + 3 z = 0 2 x - 2 y - 3 z = 0

Vamos isolar o x na primeira...

x = - 2 z - y

Jogamos na segunda:

5 - 2 z - y + y + 3 z = 0

- 10 z - 5 y + y + 3 z = 0

- 4 y = 7 z

y = - 7 z 4

Então...

x = - 2 z + 7 z 4 =   - z 4

Se substituir na terceira dá certinho, então a gente pode usar qualquer valor dentro dessas relações...

Passo 3

Vamos fazer z = - 4 .

Daí, ficamos com x = 1 e y = 7 . E temos o vetor 1,7 , - 4   sendo ortogonal aos 3 vetores pedidos.

Na verdade, qualquer vetor da forma k 1,7 , - 4 ,   k ∈ R é ortogonal a eles.

Obs: O vetor encontrado vai depender da sua solução no sistema, tem muitos, esse é só um deles.

Resposta

k 1,7 , - 4 ,   k ∈ R

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