Enunciado

Sendo S e T operadores lineares do R 3 definidos por S x , y , z = ( x ,   2 y , x - y ) e T x , y , z = ( x - z , y , z ) , determinar:

a) [ S ∘ T ] .

b) [ T ∘ S ] .

Passo 1

O problema nos fornece duas transformações lineares S e T e pede para fazermos considerações sobre S ∘ T e T ∘ S . Para isso, lembre-se que as matrizes de transformação se relacionam por

A ∘ B = A ⋅ [ B ]

Vamos achar as matrizes [ S ] e [ T ] nas bases canônicas. Para isso, temos que calcular as transformações nos vetores canônicos:

S 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   1 )

S 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   2 ,   - 1 )

S 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Assim,

S = 1 0 0 0 2 0 1 - 1 0

Analogamente,

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   1 ,   0 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Portanto,

T = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Passo 2

No item (a) nós queremos [ S ∘ T ] :

S ∘ T = S ⋅ [ T ]

Assim,

S ∘ T = 1 0 0 0 2 0 1 - 1 0 ⋅ 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Portanto,

S ∘ T = 1 0 - 1 0 2 0 1 - 1 - 1

Passo 3

Agora vamos para o item (b):

T ∘ S = T ⋅ [ S ]

Logo,

T ∘ S = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1 ⋅ 1 0 0 0 2 0 1 - 1 0

Assim,

T ∘ S = 0 1 0 0 2 0 1 - 1 0

Resposta

S ∘ T = 1 0 - 1 0 2 0 1 - 1 - 1

T ∘ S = 0 1 0 0 2 0 1 - 1 0

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